Phương trình vi phân — Các loại, phương pháp & ví dụ

Phương trình vi phân là phương trình liên hệ một hàm chưa biết với một hay nhiều đạo hàm của nó. Nói đơn giản, nó cho biết một đại lượng thay đổi như thế nào và yêu cầu bạn tìm lại chính hàm đó.

Vì vậy, phương trình vi phân xuất hiện trong chuyển động, tăng trưởng quần thể, làm nguội, mạch điện và nhiều mô hình khác. Nếu thông tin quan trọng nằm ở tốc độ thay đổi, thì phương trình vi phân thường là cách tự nhiên để viết bài toán.

Phương Trình Vi Phân Có Ý Nghĩa Gì

Một ví dụ đơn giản là

$$\frac{dy}{dx} = 3y$$

Điều này nói rằng tốc độ thay đổi của $y$ luôn bằng ba lần giá trị hiện tại của $y$. Nếu $y$ dương, nó tăng lên. Nếu $y$ âm, nó giảm xuống xa hơn. Nếu $y=0$, thì tốc độ thay đổi cũng bằng $0$.

Ẩn số ở đây không phải là một con số đơn lẻ. Ẩn số là toàn bộ hàm $y(x)$ làm cho quy tắc này đúng.

Các Loại Phương Trình Vi Phân Chính

Thường và Đạo Hàm Riêng

Phương trình vi phân thường, hay ODE, dùng các đạo hàm theo một biến. Ví dụ,

$$\frac{dy}{dx} = x - y$$

là một ODE vì $y$ chỉ phụ thuộc vào $x$.

Phương trình đạo hàm riêng, hay PDE, dùng các đạo hàm riêng vì hàm chưa biết phụ thuộc vào nhiều hơn một biến. Phương trình nhiệt là một ví dụ quen thuộc:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Nếu bạn mới bắt đầu, ODE thường là điểm vào phù hợp hơn.

Bậc

Bậc của phương trình vi phân là đạo hàm cấp cao nhất xuất hiện trong phương trình.

• Bậc nhất: $\frac{dy}{dx} + y = 0$
• Bậc hai: $\frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0$

Bậc rất quan trọng vì nó thường cho biết bạn cần bao nhiêu điều kiện để xác định một nghiệm cụ thể.

Tuyến Tính và Phi Tuyến

Một phương trình là tuyến tính nếu hàm chưa biết và các đạo hàm của nó chỉ xuất hiện ở lũy thừa bậc nhất và không nhân với nhau. Ví dụ,

$$y' + 2y = x$$

là tuyến tính, còn

$$y' = y^2$$

là phi tuyến.

Sự phân biệt này quan trọng vì các phương trình tuyến tính thường có nhiều phương pháp giải chuẩn hơn.

Vì Sao Điều Kiện Đầu và Điều Kiện Biên Quan Trọng

Một phương trình vi phân thường có nhiều nghiệm, không chỉ một. Thông tin bổ sung sẽ cho biết bạn cần nghiệm nào.

Điều kiện đầu cho giá trị của hàm, hoặc đôi khi của các đạo hàm của nó, tại một điểm. Ví dụ, $y(0)=2$ chọn ra một đường nghiệm cụ thể.

Điều kiện biên cho thông tin tại một hoặc nhiều đầu mút, điều này rất phổ biến trong các bài toán vật lý và kỹ thuật được xác định trên một khoảng hoặc một miền.

Ví Dụ Có Lời Giải: Giải $\frac{dy}{dx} = 3y$ Với $y(0)=2$

Giải

$$\frac{dy}{dx} = 3y, \qquad y(0)=2$$

Đây là một ODE bậc nhất, và nó tách biến được vì các hạng chứa $y$ và các hạng chứa $x$ có thể được đưa sang hai vế khác nhau.

Với các nghiệm thỏa $y \ne 0$, chia hai vế cho $y$:

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3$$

và viết lại thành

$$\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx$$

Bây giờ lấy tích phân hai vế:

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx$$

suy ra

$$\ln|y| = 3x + C$$

Lấy hàm mũ hai vế:

$$|y| = e^\{3x+C\} = Ae^\{3x\}$$

Gộp dấu vào hằng số và viết lại:

$$y = Ce^{3x}$$

Bây giờ dùng điều kiện đầu:

$$2 = y(0) = Ce^0 = C$$

Vậy nghiệm thỏa điều kiện là

$$y = 2e^{3x}$$

Bạn có thể kiểm tra trực tiếp:

$$y' = 6e^{3x} = 3(2e^{3x}) = 3y$$

nên nó thỏa mãn phương trình vi phân và điều kiện đã cho.

Có một điểm cần lưu ý ở đây: việc chia cho $y$ giả sử rằng $y \ne 0$. Nghiệm hằng $y=0$ cũng thỏa $\frac{dy}{dx}=3y$, nhưng nó không thỏa $y(0)=2$, nên không phải là nghiệm của bài toán giá trị đầu này.

Các Phương Pháp Cơ Bản và Khi Nào Dùng

Mỗi dạng phương trình cần một phương pháp khác nhau. Phương pháp phụ thuộc vào cấu trúc của phương trình, không phải vào sở thích.

• Tách biến dùng được khi bạn có thể biến đổi phương trình về dạng như $g(y)\,dy = f(x)\,dx$.
• Nhân tử tích phân được dùng cho phương trình tuyến tính bậc nhất có dạng $y' + p(x)y = q(x)$.
• Phương trình đặc trưng là công cụ chuẩn cho một số phương trình tuyến tính hệ số hằng như $y'' - 3y' + 2y = 0$.
• Phương pháp số được dùng khi khó hoặc không thể tìm được công thức nghiệm chính xác.

Quy trình an toàn là: phân loại trước, rồi chọn phương pháp phù hợp.

Những Lỗi Thường Gặp Trong Phương Trình Vi Phân

Một lỗi phổ biến là giải trước khi phân loại. Nếu bạn không nhận ra phương trình là tách biến được, tuyến tính hay bậc cao hơn, thì rất dễ chọn sai phương pháp.

Một lỗi khác là bỏ qua điều kiện. Giải phương trình vi phân thường cho ra một họ hàm, nhưng điều kiện đầu hoặc điều kiện biên mới là thứ chọn ra đáp án thực sự của bài toán.

Lỗi thứ ba là chia cho một biểu thức mà không nêu rõ điều kiện. Trong ví dụ đã giải, việc chia cho $y$ chỉ hợp lệ trên các khoảng mà $y \ne 0$, vì thế nghiệm bằng không phải được xét riêng.

Phương Trình Vi Phân Được Dùng Ở Đâu

Phương trình vi phân được dùng bất cứ khi nào một mô hình phụ thuộc vào sự thay đổi theo thời gian, không gian, hoặc cả hai.

• Trong vật lý, chúng mô tả chuyển động, dao động, trọng lực và sự truyền nhiệt.
• Trong sinh học, chúng mô hình hóa sự thay đổi quần thể, sự lan truyền và tốc độ phản ứng.
• Trong kỹ thuật, chúng xuất hiện trong mạch điện, hệ điều khiển và hành vi tín hiệu.
• Trong kinh tế học, chúng có thể mô tả tăng trưởng và sự điều chỉnh theo thời gian.

Bạn không cần phải tự tay giải các phương trình nâng cao để thấy được giá trị của ý tưởng này. Ngay cả việc phân loại cơ bản cũng giúp bạn hiểu mình đang nhìn vào loại mô hình nào.

Thử Một Bài Tương Tự

Hãy thử phiên bản của riêng bạn với

$$\frac{dy}{dx} = -2y, \qquad y(0)=5$$

Trước hết hãy phân loại nó, giải bằng cách tách biến, rồi kiểm tra kết quả bằng cách lấy đạo hàm của đáp án. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy so sánh với $y' + 2y = x$ và chú ý vì sao phương pháp lại thay đổi.