Equazioni differenziali — tipi, metodi ed esempi

Un’equazione differenziale è un’equazione che mette in relazione una funzione incognita con una o più delle sue derivate. In parole semplici, descrive come cambia una grandezza e chiede di ricostruire la funzione stessa.

Per questo le equazioni differenziali compaiono nel moto, nella crescita delle popolazioni, nel raffreddamento, nei circuiti e in molti altri modelli. Se l’informazione principale riguarda una velocità di variazione, un’equazione differenziale è spesso il modo più naturale di scrivere il problema.

Che cosa significa un’equazione differenziale

Un esempio semplice è

$$\frac{dy}{dx} = 3y$$

Questo dice che la velocità di variazione di $y$ è sempre tre volte il valore attuale di $y$. Se $y$ è positiva, cresce. Se $y$ è negativa, diminuisce ancora. Se $y=0$, anche la velocità di variazione è $0$.

L’incognita non è un singolo numero. L’incognita è l’intera funzione $y(x)$ che rende vera la relazione.

Tipi principali di equazioni differenziali

Ordinarie vs. alle derivate parziali

Un’equazione differenziale ordinaria, o ODE, usa derivate rispetto a una sola variabile. Per esempio,

$$\frac{dy}{dx} = x - y$$

è un’ODE perché $y$ dipende solo da $x$.

Un’equazione alle derivate parziali, o PDE, usa derivate parziali perché l’incognita dipende da più di una variabile. L’equazione del calore è un esempio classico:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Se stai iniziando adesso, le ODE sono di solito il punto di partenza giusto.

Ordine

L’ordine di un’equazione differenziale è la derivata di ordine più alto che compare.

• Primo ordine: $\frac{dy}{dx} + y = 0$
• Secondo ordine: $\frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0$

L’ordine è importante perché di solito indica quante condizioni servono per determinare una soluzione specifica.

Lineari vs. non lineari

Un’equazione è lineare se la funzione incognita e le sue derivate compaiono solo alla prima potenza e non sono moltiplicate tra loro. Per esempio,

$$y' + 2y = x$$

è lineare, ma

$$y' = y^2$$

è non lineare.

Questa distinzione è importante perché le equazioni lineari hanno spesso metodi di soluzione più standard.

Perché le condizioni iniziali e al contorno sono importanti

Un’equazione differenziale spesso ha molte soluzioni, non una sola. Le informazioni aggiuntive ti dicono quale ti interessa.

Una condizione iniziale fornisce il valore della funzione, o talvolta delle sue derivate, in un punto. Per esempio, $y(0)=2$ seleziona una curva soluzione specifica.

Una condizione al contorno fornisce informazioni in uno o più estremi, cosa comune nei problemi di fisica e ingegneria definiti su un intervallo o una regione.

Esempio svolto: risolvi $\frac{dy}{dx} = 3y$ con $y(0)=2$

Risolvi

$$\frac{dy}{dx} = 3y, \qquad y(0)=2$$

Questa è un’ODE del primo ordine, ed è a variabili separabili perché i termini con $y$ e quelli con $x$ possono essere messi su lati diversi.

Per le soluzioni con $y \ne 0$, dividi per $y$:

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3$$

e scrivila come

$$\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx$$

Ora integra entrambi i membri:

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx$$

quindi

$$\ln|y| = 3x + C$$

Esponenzia entrambi i membri:

$$|y| = e^\{3x+C\} = Ae^\{3x\}$$

Assorbi il segno nella costante e riscrivi:

$$y = Ce^{3x}$$

Ora usa la condizione iniziale:

$$2 = y(0) = Ce^0 = C$$

Quindi la soluzione che soddisfa la condizione è

$$y = 2e^{3x}$$

Puoi verificarlo direttamente:

$$y' = 6e^{3x} = 3(2e^{3x}) = 3y$$

quindi soddisfa l’equazione differenziale e la condizione.

Qui conta una condizione: dividere per $y$ suppone che $y \ne 0$. Anche la soluzione costante $y=0$ soddisfa $\frac{dy}{dx}=3y$, ma non soddisfa $y(0)=2$, quindi non è la soluzione di questo problema ai valori iniziali.

Metodi di base e quando si applicano

Forme diverse richiedono metodi diversi. Il metodo dipende dalla struttura dell’equazione, non dalle preferenze.

• La separazione delle variabili funziona quando puoi riscrivere l’equazione in una forma come $g(y)\,dy = f(x)\,dx$.
• Il fattore integrante si usa per le equazioni lineari del primo ordine della forma $y' + p(x)y = q(x)$.
• Le equazioni caratteristiche sono uno strumento standard per alcune equazioni lineari a coefficienti costanti, come $y'' - 3y' + 2y = 0$.
• I metodi numerici si usano quando una formula esatta è difficile o impossibile da trovare.

Il procedimento più sicuro è: prima classifica, poi scegli il metodo adatto.

Errori comuni nelle equazioni differenziali

Un errore comune è cercare di risolvere prima di classificare. Se non noti se un’equazione è a variabili separabili, lineare o di ordine superiore, è facile scegliere il metodo sbagliato.

Un altro errore è trascurare la condizione. Risolvere l’equazione differenziale di solito produce una famiglia di funzioni, ma è la condizione iniziale o al contorno che seleziona la risposta effettiva del problema.

Un terzo errore è dividere per un’espressione senza dichiarare la condizione. Nell’esempio svolto, dividere per $y$ è valido solo su intervalli in cui $y \ne 0$, ed è per questo che la soluzione nulla va considerata separatamente.

Dove si usano le equazioni differenziali

Le equazioni differenziali si usano ogni volta che un modello dipende dal cambiamento nel tempo, nello spazio o in entrambi.

• In fisica, descrivono il moto, l’oscillazione, la gravità e la propagazione del calore.
• In biologia, modellano il cambiamento delle popolazioni, la diffusione e le velocità di reazione.
• In ingegneria, compaiono nei circuiti, nei sistemi di controllo e nel comportamento dei segnali.
• In economia, possono descrivere la crescita e l’aggiustamento nel tempo.

Non serve saper risolvere a mano equazioni avanzate per trarre beneficio dall’idea. Anche una classificazione di base ti aiuta a capire che tipo di modello stai osservando.

Prova un problema simile

Prova una tua versione con

$$\frac{dy}{dx} = -2y, \qquad y(0)=5$$

Classificala prima, risolvila per separazione delle variabili e poi controlla il risultato derivando la tua risposta. Se vuoi fare un passo in più, confrontala con $y' + 2y = x$ e nota perché il metodo cambia.