Persamaan Diferensial — Jenis, Metode & Contoh

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan suatu fungsi yang tidak diketahui dengan satu atau lebih turunannya. Dalam bahasa sederhana, persamaan ini memberi tahu bagaimana suatu besaran berubah dan meminta Anda menemukan kembali fungsi itu sendiri.

Itulah sebabnya persamaan diferensial muncul dalam gerak, pertumbuhan populasi, pendinginan, rangkaian listrik, dan banyak model lainnya. Jika informasi utamanya berkaitan dengan laju perubahan, persamaan diferensial sering menjadi cara yang paling alami untuk menuliskan masalahnya.

Apa Arti Persamaan Diferensial

Contoh sederhana adalah

$$\frac{dy}{dx} = 3y$$

Ini menyatakan bahwa laju perubahan $y$ selalu tiga kali nilai $y$ saat ini. Jika $y$ positif, nilainya bertambah. Jika $y$ negatif, nilainya bergerak semakin ke bawah. Jika $y=0$, laju perubahannya juga $0$.

Yang tidak diketahui bukanlah satu bilangan tunggal. Yang tidak diketahui adalah seluruh fungsi $y(x)$ yang membuat aturan tersebut benar.

Jenis Utama Persamaan Diferensial

Biasa vs. Parsial

Persamaan diferensial biasa, atau ODE, menggunakan turunan terhadap satu variabel. Sebagai contoh,

$$\frac{dy}{dx} = x - y$$

adalah ODE karena $y$ hanya bergantung pada $x$.

Persamaan diferensial parsial, atau PDE, menggunakan turunan parsial karena besaran yang tidak diketahui bergantung pada lebih dari satu variabel. Persamaan panas adalah contoh standar:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Jika Anda baru mulai belajar, ODE biasanya menjadi titik masuk yang tepat.

Orde

Orde suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggi yang muncul.

• Orde satu: $\frac{dy}{dx} + y = 0$
• Orde dua: $\frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0$

Orde penting karena biasanya memberi tahu berapa banyak kondisi yang diperlukan untuk menentukan satu solusi spesifik.

Linear vs. Nonlinier

Suatu persamaan disebut linear jika fungsi yang tidak diketahui dan turunannya hanya muncul berpangkat satu dan tidak saling dikalikan. Sebagai contoh,

$$y' + 2y = x$$

bersifat linear, tetapi

$$y' = y^2$$

bersifat nonlinier.

Perbedaan ini penting karena persamaan linear sering memiliki metode penyelesaian yang lebih baku.

Mengapa Kondisi Awal Dan Kondisi Batas Penting

Suatu persamaan diferensial sering memiliki banyak solusi, bukan hanya satu. Informasi tambahan memberi tahu solusi mana yang Anda perlukan.

Kondisi awal memberikan nilai fungsi, atau kadang turunannya, pada satu titik. Sebagai contoh, $y(0)=2$ memilih satu kurva solusi tertentu.

Kondisi batas memberikan informasi pada satu atau lebih titik ujung, yang umum dalam soal fisika dan teknik yang didefinisikan pada suatu interval atau daerah.

Contoh Soal: Selesaikan $\frac{dy}{dx} = 3y$ Dengan $y(0)=2$

Selesaikan

$$\frac{dy}{dx} = 3y, \qquad y(0)=2$$

Ini adalah ODE orde satu, dan persamaan ini dapat dipisahkan karena suku-suku $y$ dan $x$ dapat ditempatkan pada sisi yang berbeda.

Untuk solusi dengan $y \ne 0$, bagi dengan $y$:

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3$$

dan tuliskan sebagai

$$\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx$$

Sekarang integralkan kedua sisi:

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx$$

sehingga

$$\ln|y| = 3x + C$$

Eksponensialkan kedua sisi:

$$|y| = e^\{3x+C\} = Ae^\{3x\}$$

Serap tanda ke dalam konstanta dan tulis ulang:

$$y = Ce^{3x}$$

Sekarang gunakan kondisi awal:

$$2 = y(0) = Ce^0 = C$$

Jadi solusi yang memenuhi kondisi tersebut adalah

$$y = 2e^{3x}$$

Anda dapat memeriksanya secara langsung:

$$y' = 6e^{3x} = 3(2e^{3x}) = 3y$$

jadi solusi itu memenuhi persamaan diferensial dan kondisinya.

Satu hal penting di sini: membagi dengan $y$ mengasumsikan $y \ne 0$. Solusi konstan $y=0$ juga memenuhi $\frac{dy}{dx}=3y$, tetapi tidak memenuhi $y(0)=2$, jadi itu bukan solusi untuk masalah nilai awal ini.

Metode Dasar Dan Kapan Digunakan

Bentuk yang berbeda memerlukan metode yang berbeda. Metodenya bergantung pada struktur persamaan, bukan pada preferensi.

• Pemisahan variabel bekerja ketika Anda dapat menyusun ulang persamaan menjadi bentuk seperti $g(y)\,dy = f(x)\,dx$.
• Faktor integrasi digunakan untuk persamaan linear orde satu berbentuk $y' + p(x)y = q(x)$.
• Persamaan karakteristik adalah alat standar untuk beberapa persamaan linear berkoefisien konstan seperti $y'' - 3y' + 2y = 0$.
• Metode numerik digunakan ketika rumus eksak sulit atau tidak mungkin ditemukan.

Alur kerja yang aman adalah: klasifikasikan dulu, lalu pilih metode yang sesuai.

Kesalahan Umum Dalam Persamaan Diferensial

Salah satu kesalahan umum adalah mencoba menyelesaikan sebelum mengklasifikasikan. Jika Anda tidak memperhatikan apakah suatu persamaan dapat dipisahkan, linear, atau berorde lebih tinggi, Anda mudah memilih metode yang salah.

Kesalahan lain adalah mengabaikan kondisi yang diberikan. Menyelesaikan persamaan diferensial biasanya menghasilkan satu keluarga fungsi, tetapi kondisi awal atau kondisi bataslah yang menentukan jawaban sebenarnya untuk masalah tersebut.

Kesalahan ketiga adalah membagi dengan suatu ekspresi tanpa menyatakan syaratnya. Dalam contoh soal, membagi dengan $y$ hanya valid pada interval saat $y \ne 0$, itulah sebabnya solusi nol harus dipertimbangkan secara terpisah.

Di Mana Persamaan Diferensial Digunakan

Persamaan diferensial digunakan setiap kali suatu model bergantung pada perubahan terhadap waktu, ruang, atau keduanya.

• Dalam fisika, persamaan ini menjelaskan gerak, osilasi, gravitasi, dan aliran panas.
• Dalam biologi, persamaan ini memodelkan perubahan populasi, penyebaran, dan laju reaksi.
• Dalam teknik, persamaan ini muncul dalam rangkaian listrik, sistem kendali, dan perilaku sinyal.
• Dalam ekonomi, persamaan ini dapat menggambarkan pertumbuhan dan penyesuaian dari waktu ke waktu.

Anda tidak perlu menyelesaikan persamaan tingkat lanjut secara manual untuk mendapatkan manfaat dari idenya. Bahkan klasifikasi dasar pun membantu Anda memahami jenis model yang sedang Anda lihat.

Coba Soal Serupa

Coba versi Anda sendiri dengan

$$\frac{dy}{dx} = -2y, \qquad y(0)=5$$

Klasifikasikan dulu, selesaikan dengan pemisahan variabel, lalu periksa hasilnya dengan menurunkan jawaban Anda. Jika ingin melangkah sedikit lebih jauh, bandingkan dengan $y' + 2y = x$ dan perhatikan mengapa metodenya berubah.