สมการเชิงอนุพันธ์ — ประเภท วิธีแก้ และตัวอย่าง

สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการที่เชื่อมโยงฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่ากับอนุพันธ์ของมันหนึ่งตัวหรือมากกว่า พูดง่าย ๆ คือมันบอกว่าปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงอย่างไร และให้เราหาฟังก์ชันนั้นกลับมา

นี่จึงเป็นเหตุผลที่สมการเชิงอนุพันธ์ปรากฏในเรื่องการเคลื่อนที่ การเติบโตของประชากร การเย็นตัว วงจรไฟฟ้า และแบบจำลองอื่น ๆ อีกมากมาย ถ้าข้อมูลสำคัญของปัญหาอยู่ที่อัตราการเปลี่ยนแปลง สมการเชิงอนุพันธ์มักเป็นวิธีเขียนปัญหาที่เป็นธรรมชาติที่สุด

สมการเชิงอนุพันธ์หมายความว่าอย่างไร

ตัวอย่างง่าย ๆ คือ

$$\frac{dy}{dx} = 3y$$

สมการนี้บอกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$ มีค่าเป็นสามเท่าของค่าปัจจุบันของ $y$ เสมอ ถ้า $y$ เป็นบวก มันจะเพิ่มขึ้น ถ้า $y$ เป็นลบ มันจะลดลงไปอีก และถ้า $y=0$ อัตราการเปลี่ยนแปลงก็เป็น $0$ เช่นกัน

สิ่งที่ไม่ทราบค่าไม่ใช่ตัวเลขตัวเดียว แต่คือฟังก์ชันทั้งหมด $y(x)$ ที่ทำให้กฎนี้เป็นจริง

ประเภทหลักของสมการเชิงอนุพันธ์

สมการสามัญ vs. สมการย่อย

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ หรือ ODE ใช้อนุพันธ์เทียบกับตัวแปรเพียงตัวเดียว ตัวอย่างเช่น

$$\frac{dy}{dx} = x - y$$

เป็น ODE เพราะ $y$ ขึ้นอยู่กับ $x$ เพียงตัวเดียว

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย หรือ PDE ใช้อนุพันธ์ย่อย เพราะฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าขึ้นอยู่กับตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว สมการความร้อนเป็นตัวอย่างมาตรฐาน:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

ถ้าคุณเพิ่งเริ่มเรียน ODE มักเป็นจุดเริ่มต้นที่เหมาะกว่า

อันดับ

อันดับของสมการเชิงอนุพันธ์คืออันดับสูงสุดของอนุพันธ์ที่ปรากฏในสมการ

• อันดับหนึ่ง: $\frac{dy}{dx} + y = 0$
• อันดับสอง: $\frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0$

อันดับมีความสำคัญ เพราะมักบอกได้ว่าคุณต้องมีเงื่อนไขกี่ข้อเพื่อระบุคำตอบเฉพาะหนึ่งคำตอบ

เชิงเส้น vs. ไม่เชิงเส้น

สมการจะเป็นเชิงเส้นเมื่อฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าและอนุพันธ์ของมันปรากฏเพียงยกกำลังหนึ่ง และไม่ถูกคูณกันเอง ตัวอย่างเช่น

$$y' + 2y = x$$

เป็นสมการเชิงเส้น แต่

$$y' = y^2$$

เป็นสมการไม่เชิงเส้น

ความแตกต่างนี้สำคัญ เพราะสมการเชิงเส้นมักมีวิธีแก้มาตรฐานรองรับมากกว่า

ทำไมเงื่อนไขต้นและเงื่อนไขขอบเขตจึงสำคัญ

สมการเชิงอนุพันธ์หนึ่งสมการมักมีคำตอบได้หลายแบบ ไม่ใช่แค่คำตอบเดียว ข้อมูลเพิ่มเติมจะบอกว่าคุณต้องการคำตอบไหน

เงื่อนไขต้นให้ค่าของฟังก์ชัน หรือบางครั้งให้ค่าอนุพันธ์ของมัน ณ จุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น $y(0)=2$ จะเลือกเส้นโค้งคำตอบเฉพาะเส้นหนึ่งออกมา

เงื่อนไขขอบเขตให้ข้อมูลที่ปลายด้านหนึ่งหรือหลายปลาย ซึ่งพบได้บ่อยในโจทย์ฟิสิกส์และวิศวกรรมที่กำหนดบนช่วงหรือบริเวณหนึ่ง

ตัวอย่างทำโจทย์: แก้ $\frac{dy}{dx} = 3y$ เมื่อ $y(0)=2$

จงแก้

$$\frac{dy}{dx} = 3y, \qquad y(0)=2$$

นี่คือ ODE อันดับหนึ่ง และเป็นสมการแบบแยกตัวแปรได้ เพราะพจน์ที่มี $y$ และพจน์ที่มี $x$ สามารถย้ายไปอยู่คนละข้างกันได้

สำหรับคำตอบที่มี $y \ne 0$ ให้หารทั้งสองข้างด้วย $y$:

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3$$

แล้วเขียนเป็น

$$\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx$$

จากนั้นอินทิเกรตทั้งสองข้าง:

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx$$

จึงได้ว่า

$$\ln|y| = 3x + C$$

ยกกำลังเอ็กซ์โปเนนเชียลทั้งสองข้าง:

$$|y| = e^\{3x+C\} = Ae^\{3x\}$$

รวมเครื่องหมายเข้าไปในค่าคงที่แล้วเขียนใหม่ได้เป็น

$$y = Ce^{3x}$$

ตอนนี้ใช้เงื่อนไขต้น:

$$2 = y(0) = Ce^0 = C$$

ดังนั้นคำตอบที่สอดคล้องกับเงื่อนไขคือ

$$y = 2e^{3x}$$

คุณสามารถตรวจสอบได้โดยตรง:

$$y' = 6e^{3x} = 3(2e^{3x}) = 3y$$

จึงเป็นคำตอบที่สอดคล้องทั้งกับสมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขที่กำหนด

มีข้อสังเกตสำคัญอยู่ข้อหนึ่ง: การหารด้วย $y$ ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่า $y \ne 0$ คำตอบค่าคงที่ $y=0$ ก็เป็นคำตอบของ $\frac{dy}{dx}=3y$ เช่นกัน แต่ไม่สอดคล้องกับ $y(0)=2$ จึงไม่ใช่คำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้นข้อนี้

วิธีพื้นฐานและใช้เมื่อใด

สมการแต่ละรูปต้องใช้วิธีต่างกัน วิธีที่เลือกขึ้นอยู่กับโครงสร้างของสมการ ไม่ใช่ความชอบส่วนตัว

• การแยกตัวแปรใช้ได้เมื่อคุณจัดรูปสมการให้อยู่ในลักษณะ $g(y)\,dy = f(x)\,dx$ ได้
• ตัวประกอบเชิงปริพันธ์ใช้กับสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งในรูป $y' + p(x)y = q(x)$
• สมการลักษณะเฉพาะเป็นเครื่องมือมาตรฐานสำหรับสมการเชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงที่บางแบบ เช่น $y'' - 3y' + 2y = 0$
• วิธีเชิงตัวเลขใช้เมื่อหาสูตรคำตอบที่แน่นอนได้ยากหรือเป็นไปไม่ได้

ลำดับการทำงานที่ปลอดภัยคือ: จัดประเภทก่อน แล้วค่อยเลือกวิธีที่เหมาะกับสมการ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในสมการเชิงอนุพันธ์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือรีบแก้สมการก่อนจัดประเภท ถ้าคุณไม่สังเกตว่าสมการนั้นแยกตัวแปรได้ เป็นเชิงเส้น หรือเป็นอันดับสูง ก็มีโอกาสเลือกวิธีผิดได้ง่าย

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือมองข้ามเงื่อนไขที่กำหนด การแก้สมการเชิงอนุพันธ์มักให้ตระกูลของฟังก์ชันออกมา แต่เงื่อนไขต้นหรือเงื่อนไขขอบเขตต่างหากที่เลือกคำตอบจริงของโจทย์

ข้อผิดพลาดข้อที่สามคือหารด้วยนิพจน์บางอย่างโดยไม่ระบุเงื่อนไข ในตัวอย่างที่ทำไป การหารด้วย $y$ ใช้ได้เฉพาะบนช่วงที่ $y \ne 0$ เท่านั้น จึงต้องพิจารณาคำตอบศูนย์แยกต่างหาก

สมการเชิงอนุพันธ์ถูกใช้ที่ไหน

สมการเชิงอนุพันธ์ถูกใช้ทุกครั้งที่แบบจำลองขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงตามเวลา ตามตำแหน่ง หรือทั้งสองอย่าง

• ในฟิสิกส์ ใช้อธิบายการเคลื่อนที่ การสั่น การโน้มถ่วง และการไหลของความร้อน
• ในชีววิทยา ใช้สร้างแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงของประชากร การแพร่กระจาย และอัตราการเกิดปฏิกิริยา
• ในวิศวกรรม ปรากฏในวงจร ระบบควบคุม และพฤติกรรมของสัญญาณ
• ในเศรษฐศาสตร์ สามารถใช้อธิบายการเติบโตและการปรับตัวตามเวลา

คุณไม่จำเป็นต้องแก้สมการขั้นสูงด้วยมือจึงจะได้ประโยชน์จากแนวคิดนี้ แม้เพียงการจัดประเภทเบื้องต้นก็ช่วยให้เข้าใจได้ว่าคุณกำลังดูแบบจำลองชนิดใดอยู่

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำเวอร์ชันของคุณเองจาก

$$\frac{dy}{dx} = -2y, \qquad y(0)=5$$

เริ่มจากจัดประเภทก่อน จากนั้นแก้ด้วยการแยกตัวแปร แล้วตรวจสอบคำตอบด้วยการหาอนุพันธ์ของคำตอบที่ได้ หากอยากลองต่ออีกขั้น ให้เปรียบเทียบกับ $y' + 2y = x$ แล้วสังเกตว่าทำไมวิธีแก้จึงเปลี่ยนไป