미분방정식 — 종류, 풀이법과 예제

미분방정식은 미지의 함수와 그 함수의 하나 이상의 도함수 사이의 관계를 나타내는 방정식입니다. 쉽게 말해, 어떤 양이 어떻게 변하는지를 알려 주고 그로부터 원래 함수를 찾아내라고 묻는 것입니다.

그래서 미분방정식은 운동, 개체수 증가, 냉각, 전기회로 등 많은 모델에 등장합니다. 핵심 정보가 변화율에 있다면, 문제를 표현하는 가장 자연스러운 방법이 미분방정식인 경우가 많습니다.

미분방정식이 뜻하는 것

간단한 예는 다음과 같습니다.

$$\frac{dy}{dx} = 3y$$

이 식은 $y$의 변화율이 항상 현재 $y$ 값의 세 배라는 뜻입니다. $y$가 양수이면 증가합니다. $y$가 음수이면 더 아래로 내려갑니다. $y=0$이면 변화율도 $0$입니다.

여기서 미지는 하나의 숫자가 아닙니다. 이 규칙을 만족하는 전체 함수 $y(x)$가 미지입니다.

미분방정식의 주요 종류

상미분방정식과 편미분방정식

상미분방정식(ODE)은 한 변수에 대한 도함수를 사용합니다. 예를 들어,

$$\frac{dy}{dx} = x - y$$

는 $y$가 오직 $x$에만 의존하므로 ODE입니다.

편미분방정식(PDE)은 미지 함수가 둘 이상의 변수에 의존하므로 편도함수를 사용합니다. 열방정식은 대표적인 예입니다.

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

처음 배우는 단계라면 보통 ODE부터 시작하는 것이 좋습니다.

차수

미분방정식의 차수는 식에 나타나는 가장 높은 미분의 차수입니다.

• 1계: $\frac{dy}{dx} + y = 0$
• 2계: $\frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0$

차수는 중요합니다. 보통 특정한 하나의 해를 정하려면 몇 개의 조건이 필요한지를 알려 주기 때문입니다.

선형과 비선형

미지 함수와 그 도함수가 모두 1차로만 나타나고 서로 곱해지지 않으면 선형방정식입니다. 예를 들어,

$$y' + 2y = x$$

는 선형이지만,

$$y' = y^2$$

는 비선형입니다.

이 구분은 중요합니다. 선형방정식에는 표준적인 풀이법이 더 많이 알려져 있기 때문입니다.

초기조건과 경계조건이 중요한 이유

미분방정식은 해가 하나가 아니라 여러 개일 때가 많습니다. 추가 정보가 있어야 그중에서 원하는 해를 고를 수 있습니다.

초기조건은 한 점에서 함수값이나 때로는 그 도함수의 값을 줍니다. 예를 들어 $y(0)=2$는 하나의 특정한 해곡선을 선택해 줍니다.

경계조건은 하나 이상의 끝점에서 정보를 줍니다. 이는 구간이나 영역 위에서 정의되는 물리학, 공학 문제에서 흔히 나타납니다.

예제: $\frac{dy}{dx} = 3y$, $y(0)=2$ 풀기

다음을 풉니다.

$$\frac{dy}{dx} = 3y, \qquad y(0)=2$$

이 식은 1계 ODE입니다. 또한 $y$에 관한 항과 $x$에 관한 항을 서로 다른 쪽으로 옮길 수 있으므로 변수분리가 가능합니다.

$y \ne 0$인 해에 대해서는 $y$로 나누면

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3$$

이고, 이를

$$\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx$$

처럼 쓸 수 있습니다.

이제 양변을 적분합니다.

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx$$

따라서

$$\ln|y| = 3x + C$$

양변에 지수를 취하면

$$|y| = e^\{3x+C\} = Ae^\{3x\}$$

부호를 상수에 흡수하여 다시 쓰면

$$y = Ce^{3x}$$

이제 초기조건을 사용합니다.

$$2 = y(0) = Ce^0 = C$$

따라서 조건을 만족하는 해는

$$y = 2e^{3x}$$

입니다.

직접 확인해 보면

$$y' = 6e^{3x} = 3(2e^{3x}) = 3y$$

이므로 미분방정식과 조건을 모두 만족합니다.

여기서 한 가지 조건이 중요합니다. $y$로 나누는 과정은 $y \ne 0$일 때만 가능합니다. 상수해 $y=0$도 $\frac{dy}{dx}=3y$의 해이지만, $y(0)=2$를 만족하지 않으므로 이 초기값문제의 해는 아닙니다.

기본 풀이법과 적용되는 경우

방정식의 형태에 따라 알맞은 풀이법이 다릅니다. 방법은 취향이 아니라 방정식의 구조에 따라 결정됩니다.

• 변수분리는 식을 $g(y)\,dy = f(x)\,dx$ 꼴로 정리할 수 있을 때 사용합니다.
• 적분인자는 $y' + p(x)y = q(x)$ 꼴의 1계 선형방정식에 사용합니다.
• 특성방정식은 $y'' - 3y' + 2y = 0$ 같은 일부 선형 상수계수 방정식의 표준적인 도구입니다.
• 정확한 공식을 구하기 어렵거나 불가능할 때는 수치해석적 방법을 사용합니다.

안전한 순서는 먼저 분류하고, 그다음에 형태에 맞는 방법을 고르는 것입니다.

미분방정식에서 흔한 실수

흔한 실수 중 하나는 분류하기 전에 바로 푸는 것입니다. 방정식이 변수분리형인지, 선형인지, 고계인지 알아보지 않으면 잘못된 방법을 고르기 쉽습니다.

또 다른 실수는 조건을 빠뜨리는 것입니다. 미분방정식을 풀면 보통 함수들의 한 가족이 나오지만, 실제 문제의 답을 정해 주는 것은 초기조건이나 경계조건입니다.

세 번째 실수는 조건을 밝히지 않고 어떤 식으로 나누는 것입니다. 위 예제에서 $y$로 나누는 것은 $y \ne 0$인 구간에서만 타당하므로, 영해는 따로 고려해야 합니다.

미분방정식은 어디에 쓰일까?

미분방정식은 시간, 공간, 또는 둘 다에 따른 변화가 모델의 핵심일 때 사용됩니다.

• 물리학에서는 운동, 진동, 중력, 열의 흐름을 설명합니다.
• 생물학에서는 개체수 변화, 확산, 반응 속도를 모델링합니다.
• 공학에서는 회로, 제어 시스템, 신호의 거동에 등장합니다.
• 경제학에서는 시간에 따른 성장과 조정을 설명할 수 있습니다.

고급 방정식을 손으로 직접 풀지 못하더라도 이 아이디어 자체는 충분히 유용합니다. 기본적인 분류만 알아도 어떤 종류의 모델을 보고 있는지 이해하는 데 도움이 됩니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음 문제를 직접 해 보세요.

$$\frac{dy}{dx} = -2y, \qquad y(0)=5$$

먼저 분류하고, 변수분리로 푼 뒤, 구한 해를 미분해서 결과를 확인해 보세요. 한 걸음 더 나아가고 싶다면 $y' + 2y = x$와 비교해 보고 왜 풀이법이 달라지는지도 살펴보세요.