Phương trình vi phân riêng phần (PDE)

Phương trình vi phân riêng phần, hay PDE, là phương trình chứa một hàm chưa biết của hai hay nhiều biến cùng với các đạo hàm riêng của nó. Nếu bạn tìm “PDE là gì”, thì câu trả lời ngắn gọn là: PDE mô hình hóa sự thay đổi khi có nhiều hơn một đầu vào cùng quan trọng, thường là không gian và thời gian.

Đó là điểm khác biệt chính so với phương trình vi phân thường (ODE). ODE dùng một biến độc lập. PDE xuất hiện khi đại lượng bạn quan tâm phụ thuộc vào ít nhất hai biến độc lập, chẳng hạn như vị trí và thời gian.

Phương trình vi phân riêng phần là gì

Nếu $u = u(x,t)$, thì $u$ phụ thuộc vào cả vị trí $x$ và thời gian $t$. Các đạo hàm như

$$u_t = \frac{\partial u}{\partial t} \qquad \text{và} \qquad u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

cho biết $u$ thay đổi theo thời gian như thế nào và độ cong của nó trong không gian ra sao.

Một phương trình như

$$u_t = k u_{xx}$$

là một PDE vì nó liên hệ các đạo hàm riêng của cùng một hàm theo những biến khác nhau. Ở đây $k$ là một hằng số. Trong các mô hình truyền nhiệt, nó thường là hằng số khuếch tán.

PDE và ODE trong một dòng

Nếu đại lượng chưa biết phụ thuộc vào một biến độc lập, bạn thường có ODE. Nếu nó phụ thuộc vào nhiều biến độc lập, bạn thường có PDE.

Ví dụ, dân số chỉ thay đổi theo thời gian có thể được mô hình bằng ODE. Nhiệt độ thay đổi theo cả vị trí và thời gian là một tình huống PDE.

Trực giác về PDE: vì sao chúng xuất hiện

PDE xuất hiện khi cả một trường đại lượng thay đổi theo không gian và thời gian, chứ không chỉ là một con số.

• Nhiệt độ trong một thanh kim loại phụ thuộc vào vị trí bạn đang xét và thời điểm đang xét.
• Một sợi dây dao động phụ thuộc vào vị trí trên dây và thời gian.
• Áp suất, nồng độ và điện thế cũng thường được mô hình hóa như các hàm phân bố trong không gian.

Vì vậy, PDE thường là một quy luật mô tả cách một đại lượng phân bố tiến triển theo thời gian.

Ví dụ về PDE: kiểm tra một nghiệm của phương trình nhiệt

Xét phương trình nhiệt một chiều

$$u_t = k u_{xx}$$

trên đoạn $0 \le x \le 1$, và giả sử có người đề xuất

$$u(x,t) = e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Cách nhanh nhất để ký hiệu PDE trở nên cụ thể là kiểm tra trực tiếp một nghiệm ứng viên.

Bước 1: Lấy đạo hàm theo thời gian

Giữ $x$ cố định:

$$u_t = -k \pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Bước 2: Lấy đạo hàm theo không gian hai lần

Đạo hàm bậc nhất:

$$u_x = \pi e^{-k \pi^2 t}\cos(\pi x).$$

Đạo hàm bậc hai:

$$u_{xx} = -\pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Bây giờ nhân với $k$:

$$k u_{xx} = -k \pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Biểu thức này trùng với $u_t$, nên

$$u_t = k u_{xx}.$$

Vì thế hàm này thực sự là một nghiệm của phương trình nhiệt.

Nếu các điều kiện biên là $u(0,t)=0$ và $u(1,t)=0$, thì chúng cũng đúng ở đây vì $\sin(0)=0$ và $\sin(\pi)=0$. Điều kiện này rất quan trọng: trong các bài toán PDE, chỉ giải được phương trình thôi thường chưa phải là toàn bộ công việc.

Phương trình nhiệt có ý nghĩa gì

Phương trình nhiệt nói rằng sự thay đổi theo thời gian gắn với độ cong theo không gian.

Nếu $u_{xx}$ lớn và âm tại một điểm, thì $u_t$ âm tại đó, nên nhiệt độ giảm ở điểm ấy. Nói đơn giản, các đỉnh nhọn sẽ dần được làm phẳng theo thời gian. Tính chất làm trơn này là một lý do khiến phương trình nhiệt trở thành PDE đầu tiên rất điển hình.

Những lỗi thường gặp với PDE

Nhầm lẫn giữa PDE và ODE

Nếu hàm chưa biết phụ thuộc vào nhiều hơn một biến độc lập, bạn cần dùng đạo hàm riêng. Đó là khác biệt cấu trúc quan trọng nhất.

Bỏ qua điều kiện biên hoặc điều kiện đầu

Một bài toán PDE thường đi kèm điều kiện đầu, điều kiện biên, hoặc cả hai. Một hàm có thể thỏa mãn chính PDE nhưng vẫn không giải được toàn bộ bài toán vì không thỏa các điều kiện đó.

Đọc ký hiệu quá nhanh

$u_t$, $u_x$ và $u_{xx}$ trả lời những câu hỏi khác nhau. Ký hiệu cuối là đạo hàm bậc hai theo không gian, không phải tích của các ký hiệu.

Cho rằng mọi PDE đều giống phương trình nhiệt

Các PDE khác nhau mô hình hóa các hành vi khác nhau. Phương trình nhiệt làm trơn. Phương trình sóng truyền nhiễu động. Phương trình Laplace mô tả trạng thái cân bằng. Loại PDE sẽ quyết định trực giác bạn nên dùng.

Phương trình vi phân riêng phần được dùng ở đâu

PDE là công cụ tiêu chuẩn trong vật lý, kỹ thuật và toán ứng dụng vì nhiều hệ thực tế được phân bố trong không gian.

• Truyền nhiệt dùng các phương trình khuếch tán.
• Dao động và âm thanh dùng các phương trình sóng.
• Tĩnh điện và dòng chảy ở trạng thái ổn định thường dùng phương trình Laplace hoặc Poisson.
• Các mô hình chất lưu và lượng tử cũng phụ thuộc rất nhiều vào PDE.

Bạn không cần toàn bộ lý thuyết để nắm ý tưởng cơ bản. Mẫu hình trung tâm là đủ: một PDE liên hệ sự thay đổi của cùng một hàm theo nhiều biến.

Cách đọc một bài toán PDE

Khi lần đầu nhìn thấy một PDE, hãy tự hỏi:

1. Hàm chưa biết là gì?
2. Nó phụ thuộc vào những biến nào?
3. Những đạo hàm nào xuất hiện?
4. Có những điều kiện đầu hoặc điều kiện biên nào đi kèm?

Danh sách kiểm tra này giúp tránh rất nhiều nhầm lẫn trước khi bắt đầu giải.

Hãy thử một phiên bản của riêng bạn

Lấy cùng phương trình nhiệt và đổi nghiệm ứng viên thành

$$u(x,t) = e^{-4k \pi^2 t}\sin(2\pi x).$$

Hãy lấy đạo hàm và kiểm tra xem nó còn thỏa mãn $u_t = k u_{xx}$ hay không. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy thử một mode sin khác của riêng bạn hoặc giải một ví dụ tương tự về bài toán giá trị biên với GPAI Solver.