微分方程式とは？種類・解法・例題

微分方程式とは、未知関数とその1つ以上の導関数の関係を表す方程式です。やさしく言えば、ある量がどう変化するかを示し、そこから元の関数そのものを求める問題です。

そのため、微分方程式は運動、個体数の増加、冷却、電気回路など、さまざまなモデルに現れます。重要な情報が変化率として与えられるとき、微分方程式はその問題を表す自然な方法になることが多いです。

微分方程式が表す意味

簡単な例として、次があります。

$$\frac{dy}{dx} = 3y$$

これは、$y$ の変化率が常にそのときの $y$ の値の3倍であることを意味します。$y$ が正なら増加します。$y$ が負なら、さらに小さい方向へ進みます。$y=0$ なら、変化率も $0$ です。

未知なのは1つの数ではありません。条件を満たす関数全体 $y(x)$ が未知なのです。

微分方程式の主な種類

常微分方程式と偏微分方程式

常微分方程式（ODE）は、1つの変数に関する導関数を使います。たとえば、

$$\frac{dy}{dx} = x - y$$

は、$y$ が $x$ だけに依存しているので ODE です。

偏微分方程式（PDE）は、未知関数が複数の変数に依存するため、偏導関数を使います。熱方程式は代表的な例です。

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

学び始めたばかりなら、通常は ODE から入るのがよい出発点です。

階数

微分方程式の階数とは、式に現れる導関数のうち最も高い階のものを指します。

• 1階: $\frac{dy}{dx} + y = 0$
• 2階: $\frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0$

階数は重要です。というのも、通常はそれによって、1つの特定の解を決めるのに何個の条件が必要かがわかるからです。

線形と非線形

未知関数とその導関数がすべて1次で現れ、互いに掛け合わされていないとき、その方程式は線形です。たとえば、

$$y' + 2y = x$$

は線形ですが、

$$y' = y^2$$

は非線形です。

この違いは重要です。線形方程式には、標準的な解法がより多く用意されていることが多いからです。

初期条件と境界条件が重要な理由

微分方程式は、1つだけでなく多くの解をもつことがよくあります。どの解を選ぶかを決めるのが追加の情報です。

初期条件は、ある1点での関数の値、または場合によってはその導関数の値を与えます。たとえば、$y(0)=2$ は1本の特定の解曲線を選び出します。

境界条件は、1つまたは複数の端点での情報を与えます。これは、区間や領域上で定義される物理や工学の問題でよく現れます。

例題：$\frac{dy}{dx} = 3y$ を $y(0)=2$ のもとで解く

次を解きます。

$$\frac{dy}{dx} = 3y, \qquad y(0)=2$$

これは1階の ODE です。また、$y$ の項と $x$ の項を別々の辺に分けられるので、変数分離形でもあります。

$y \ne 0$ である解については、$y$ で割ると

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3$$

となり、これを

$$\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx$$

と書けます。

次に、両辺を積分します。

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx$$

したがって、

$$\ln|y| = 3x + C$$

両辺の指数をとると、

$$|y| = e^\{3x+C\} = Ae^\{3x\}$$

符号を定数に吸収して書き直すと、

$$y = Ce^{3x}$$

ここで初期条件を使います。

$$2 = y(0) = Ce^0 = C$$

したがって、条件を満たす解は

$$y = 2e^{3x}$$

です。

実際に直接確かめることもできます。

$$y' = 6e^{3x} = 3(2e^{3x}) = 3y$$

よって、この解は微分方程式と条件の両方を満たしています。

ここで1つ注意があります。$y$ で割る操作は $y \ne 0$ を仮定しています。定数解 $y=0$ も $\frac{dy}{dx}=3y$ の解ですが、$y(0)=2$ を満たさないので、この初期値問題の解ではありません。

基本的な解法と使いどころ

方程式の形によって、使うべき解法は異なります。解法は好みで決めるのではなく、方程式の構造によって決まります。

• 変数分離法は、方程式を $g(y)\,dy = f(x)\,dx$ の形に並べ替えられるときに使えます。
• 積分因子法は、$y' + p(x)y = q(x)$ の形をした1階線形方程式に使います。
• 特性方程式は、$y'' - 3y' + 2y = 0$ のような線形定数係数方程式の一部で標準的に使われる方法です。
• 数値解法は、正確な式を求めるのが難しい、または不可能なときに使います。

安全な進め方は、まず分類し、そのあとで形に合った方法を選ぶことです。

微分方程式でよくある間違い

よくある間違いの1つは、分類する前に解き始めてしまうことです。方程式が変数分離形なのか、線形なのか、高階なのかに気づかないと、誤った方法を選びやすくなります。

もう1つの間違いは、条件を落としてしまうことです。微分方程式を解くと通常は関数の族が得られますが、実際の答えを決めるのは初期条件や境界条件です。

3つ目の間違いは、条件を明示せずに式で割ることです。例題では、$y$ で割るのは $y \ne 0$ である区間でのみ正当化されるので、零解を別に考える必要があります。

微分方程式はどこで使われるか

微分方程式は、時間、空間、またはその両方にわたる変化に依存するモデルで使われます。

• 物理では、運動、振動、重力、熱の流れを表します。
• 生物では、個体数の変化、広がり、反応速度をモデル化します。
• 工学では、回路、制御系、信号のふるまいに現れます。
• 経済では、成長や時間に伴う調整を表すことがあります。

高度な方程式を手で解けなくても、この考え方自体から得られるものはあります。基本的な分類だけでも、どのような種類のモデルを見ているのか理解する助けになります。

似た問題に挑戦してみよう

次の問題で自分でも試してみましょう。

$$\frac{dy}{dx} = -2y, \qquad y(0)=5$$

まず分類し、変数分離法で解き、そのあとで答えを微分して確かめてみてください。さらに一歩進めたいなら、$y' + 2y = x$ と比べて、なぜ解法が変わるのかに注目してみましょう。