Équations différentielles — types, méthodes et exemples

Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction inconnue à une ou plusieurs de ses dérivées. En termes simples, elle indique comment une grandeur varie et demande de retrouver la fonction elle-même.

C’est pourquoi les équations différentielles apparaissent dans le mouvement, la croissance des populations, le refroidissement, les circuits et bien d’autres modèles. Si l’information essentielle porte sur un taux de variation, une équation différentielle est souvent la façon naturelle d’écrire le problème.

Ce que signifie une équation différentielle

Un exemple simple est

$$\frac{dy}{dx} = 3y$$

Cela signifie que le taux de variation de $y$ est toujours égal à trois fois la valeur actuelle de $y$. Si $y$ est positif, il croît. Si $y$ est négatif, il diminue davantage. Si $y=0$, le taux de variation vaut aussi $0$.

L’inconnue n’est pas un seul nombre. L’inconnue est la fonction entière $y(x)$ qui rend la relation vraie.

Principaux types d’équations différentielles

Ordinaires ou partielles

Une équation différentielle ordinaire, ou EDO, utilise des dérivées par rapport à une seule variable. Par exemple,

$$\frac{dy}{dx} = x - y$$

est une EDO parce que $y$ dépend seulement de $x$.

Une équation aux dérivées partielles, ou EDP, utilise des dérivées partielles parce que l’inconnue dépend de plus d’une variable. L’équation de la chaleur est un exemple classique :

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Si vous débutez, les EDO sont généralement le meilleur point d’entrée.

Ordre

L’ordre d’une équation différentielle est celui de la dérivée la plus élevée qui apparaît.

• Premier ordre : $\frac{dy}{dx} + y = 0$
• Deuxième ordre : $\frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0$

L’ordre est important, car il indique généralement combien de conditions sont nécessaires pour déterminer une solution particulière.

Linéaire ou non linéaire

Une équation est linéaire si la fonction inconnue et ses dérivées apparaissent seulement à la puissance 1 et ne sont pas multipliées entre elles. Par exemple,

$$y' + 2y = x$$

est linéaire, mais

$$y' = y^2$$

est non linéaire.

Cette distinction est importante, car les équations linéaires disposent souvent de méthodes de résolution plus standard.

Pourquoi les conditions initiales et aux limites sont importantes

Une équation différentielle a souvent plusieurs solutions, et pas une seule. Des informations supplémentaires indiquent laquelle on cherche.

Une condition initiale donne la valeur de la fonction, ou parfois de ses dérivées, en un point. Par exemple, $y(0)=2$ sélectionne une courbe solution précise.

Une condition aux limites donne une information à une ou plusieurs extrémités, ce qui est courant en physique et en ingénierie pour des problèmes définis sur un intervalle ou une région.

Exemple corrigé : résoudre $\frac{dy}{dx} = 3y$ avec $y(0)=2$

Résoudre

$$\frac{dy}{dx} = 3y, \qquad y(0)=2$$

C’est une EDO du premier ordre, et elle est à variables séparables parce que les termes en $y$ et en $x$ peuvent être placés de part et d’autre.

Pour les solutions avec $y \ne 0$, on divise par $y$ :

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3$$

et on l’écrit sous la forme

$$\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx$$

On intègre maintenant les deux membres :

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx$$

donc

$$\ln|y| = 3x + C$$

On exponentie les deux membres :

$$|y| = e^\{3x+C\} = Ae^\{3x\}$$

On absorbe le signe dans la constante et on réécrit :

$$y = Ce^{3x}$$

On utilise maintenant la condition initiale :

$$2 = y(0) = Ce^0 = C$$

La solution qui vérifie la condition est donc

$$y = 2e^{3x}$$

On peut la vérifier directement :

$$y' = 6e^{3x} = 3(2e^{3x}) = 3y$$

elle satisfait donc l’équation différentielle et la condition.

Un point est important ici : diviser par $y$ suppose que $y \ne 0$. La solution constante $y=0$ vérifie aussi $\frac{dy}{dx}=3y$, mais elle ne satisfait pas $y(0)=2$, donc ce n’est pas la solution de ce problème à condition initiale.

Méthodes de base et quand les utiliser

Des formes différentes demandent des méthodes différentes. La méthode dépend de la structure de l’équation, pas d’une préférence.

• La séparation des variables fonctionne quand on peut réécrire l’équation sous une forme comme $g(y)\,dy = f(x)\,dx$.
• Les facteurs intégrants sont utilisés pour les équations linéaires du premier ordre de la forme $y' + p(x)y = q(x)$.
• Les équations caractéristiques sont un outil standard pour certaines équations linéaires à coefficients constants, comme $y'' - 3y' + 2y = 0$.
• Les méthodes numériques sont utilisées lorsqu’une formule exacte est difficile ou impossible à trouver.

La démarche la plus sûre est la suivante : d’abord classer, puis choisir la méthode adaptée.

Erreurs fréquentes avec les équations différentielles

Une erreur fréquente consiste à résoudre avant de classer. Si vous ne remarquez pas qu’une équation est à variables séparables, linéaire ou d’ordre supérieur, il est facile de choisir la mauvaise méthode.

Une autre erreur consiste à oublier la condition. Résoudre l’équation différentielle donne généralement une famille de fonctions, mais c’est la condition initiale ou aux limites qui détermine la vraie réponse du problème.

Une troisième erreur consiste à diviser par une expression sans préciser la condition. Dans l’exemple corrigé, diviser par $y$ n’est valable que sur les intervalles où $y \ne 0$, c’est pourquoi la solution nulle doit être examinée séparément.

Où les équations différentielles sont utilisées

Les équations différentielles sont utilisées dès qu’un modèle dépend d’une variation dans le temps, dans l’espace, ou dans les deux.

• En physique, elles décrivent le mouvement, les oscillations, la gravité et la diffusion de la chaleur.
• En biologie, elles modélisent l’évolution des populations, la propagation et les vitesses de réaction.
• En ingénierie, elles apparaissent dans les circuits, les systèmes de commande et le comportement des signaux.
• En économie, elles peuvent décrire la croissance et les ajustements au cours du temps.

Vous n’avez pas besoin de résoudre à la main des équations avancées pour profiter de l’idée. Même une classification de base aide à comprendre le type de modèle que l’on a sous les yeux.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec

$$\frac{dy}{dx} = -2y, \qquad y(0)=5$$

Commencez par la classer, résolvez-la par séparation des variables, puis vérifiez le résultat en dérivant votre réponse. Si vous voulez aller un peu plus loin, comparez avec $y' + 2y = x$ et remarquez pourquoi la méthode change.