Equações Diferenciais — Tipos, Métodos e Exemplos

Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma função desconhecida a uma ou mais de suas derivadas. Em linguagem simples, ela diz como uma grandeza varia e pede que você recupere a própria função.

É por isso que as equações diferenciais aparecem em movimento, crescimento populacional, resfriamento, circuitos e muitos outros modelos. Se a informação principal está em uma taxa de variação, uma equação diferencial costuma ser a forma natural de escrever o problema.

O Que Significa Uma Equação Diferencial

Um exemplo simples é

$$\frac{dy}{dx} = 3y$$

Isso diz que a taxa de variação de $y$ é sempre três vezes o valor atual de $y$. Se $y$ é positivo, ele cresce. Se $y$ é negativo, ele diminui ainda mais. Se $y=0$, a taxa de variação também é $0$.

A incógnita não é um único número. A incógnita é a função inteira $y(x)$ que faz a regra ser verdadeira.

Principais Tipos De Equações Diferenciais

Ordinária vs. Parcial

Uma equação diferencial ordinária, ou EDO, usa derivadas em relação a uma única variável. Por exemplo,

$$\frac{dy}{dx} = x - y$$

é uma EDO porque $y$ depende apenas de $x$.

Uma equação diferencial parcial, ou EDP, usa derivadas parciais porque a incógnita depende de mais de uma variável. A equação do calor é um exemplo clássico:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Se você está começando agora, as EDOs costumam ser o ponto de entrada mais adequado.

Ordem

A ordem de uma equação diferencial é a derivada de maior ordem que aparece.

• Primeira ordem: $\frac{dy}{dx} + y = 0$
• Segunda ordem: $\frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0$

A ordem importa porque geralmente indica quantas condições você precisa para determinar uma solução específica.

Linear vs. Não Linear

Uma equação é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si. Por exemplo,

$$y' + 2y = x$$

é linear, mas

$$y' = y^2$$

é não linear.

Essa distinção importa porque equações lineares costumam ter métodos de solução mais padronizados.

Por Que As Condições Iniciais E De Contorno Importam

Uma equação diferencial geralmente tem muitas soluções, não apenas uma. Informações extras dizem qual delas você quer.

Uma condição inicial fornece o valor da função, ou às vezes de suas derivadas, em um ponto. Por exemplo, $y(0)=2$ seleciona uma curva solução específica.

Uma condição de contorno fornece informação em uma ou mais extremidades, o que é comum em problemas de física e engenharia definidos em um intervalo ou região.

Exemplo Resolvido: Resolver $\frac{dy}{dx} = 3y$ Com $y(0)=2$

Resolva

$$\frac{dy}{dx} = 3y, \qquad y(0)=2$$

Esta é uma EDO de primeira ordem, e ela é separável porque os termos com $y$ e os termos com $x$ podem ser colocados em lados diferentes.

Para soluções com $y \ne 0$, divida por $y$:

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3$$

e escreva como

$$\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx$$

Agora integre os dois lados:

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx$$

então

$$\ln|y| = 3x + C$$

Aplique a exponencial nos dois lados:

$$|y| = e^\{3x+C\} = Ae^\{3x\}$$

Absorva o sinal na constante e reescreva:

$$y = Ce^{3x}$$

Agora use a condição inicial:

$$2 = y(0) = Ce^0 = C$$

Portanto, a solução que satisfaz a condição é

$$y = 2e^{3x}$$

Você pode verificar diretamente:

$$y' = 6e^{3x} = 3(2e^{3x}) = 3y$$

portanto ela satisfaz a equação diferencial e a condição.

Uma condição importa aqui: dividir por $y$ supõe que $y \ne 0$. A solução constante $y=0$ também resolve $\frac{dy}{dx}=3y$, mas não satisfaz $y(0)=2$, então não é a solução deste problema de valor inicial.

Métodos Básicos E Quando Eles Se Aplicam

Formas diferentes pedem métodos diferentes. O método depende da estrutura da equação, não de preferência.

• A separação de variáveis funciona quando você pode reorganizar a equação em uma forma como $g(y)\,dy = f(x)\,dx$.
• Fatores integrantes são usados para equações lineares de primeira ordem da forma $y' + p(x)y = q(x)$.
• Equações características são uma ferramenta padrão para algumas equações lineares com coeficientes constantes, como $y'' - 3y' + 2y = 0$.
• Métodos numéricos são usados quando uma fórmula exata é difícil ou impossível de encontrar.

O fluxo mais seguro é: primeiro classifique, depois escolha o método adequado.

Erros Comuns Em Equações Diferenciais

Um erro comum é tentar resolver antes de classificar. Se você não percebe se uma equação é separável, linear ou de ordem superior, fica fácil escolher o método errado.

Outro erro é ignorar a condição. Resolver a equação diferencial geralmente produz uma família de funções, mas a condição inicial ou de contorno é o que seleciona a resposta real do problema.

Um terceiro erro é dividir por uma expressão sem declarar a condição. No exemplo resolvido, dividir por $y$ é válido apenas em intervalos onde $y \ne 0$, por isso a solução nula precisa ser considerada separadamente.

Onde As Equações Diferenciais São Usadas

Equações diferenciais são usadas sempre que um modelo depende de variação no tempo, no espaço ou em ambos.

• Na física, elas descrevem movimento, oscilação, gravidade e fluxo de calor.
• Na biologia, modelam variação populacional, propagação e taxas de reação.
• Na engenharia, aparecem em circuitos, sistemas de controle e comportamento de sinais.
• Na economia, podem descrever crescimento e ajuste ao longo do tempo.

Você não precisa resolver equações avançadas à mão para se beneficiar da ideia. Mesmo a classificação básica já ajuda a entender que tipo de modelo você está analisando.

Tente Um Problema Parecido

Tente sua própria versão com

$$\frac{dy}{dx} = -2y, \qquad y(0)=5$$

Primeiro classifique, resolva por separação de variáveis e depois verifique o resultado derivando sua resposta. Se quiser ir um passo além, compare com $y' + 2y = x$ e observe por que o método muda.