Διαφορικές εξισώσεις — Τύποι, μέθοδοι και παραδείγματα

Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που συνδέει μια άγνωστη συνάρτηση με μία ή περισσότερες από τις παραγώγους της. Με απλά λόγια, περιγράφει πώς μεταβάλλεται ένα μέγεθος και ζητά να ανακτήσεις την ίδια τη συνάρτηση.

Γι’ αυτό οι διαφορικές εξισώσεις εμφανίζονται στην κίνηση, στην αύξηση πληθυσμών, στην ψύξη, στα κυκλώματα και σε πολλά άλλα μοντέλα. Αν η βασική πληροφορία αφορά έναν ρυθμό μεταβολής, τότε μια διαφορική εξίσωση είναι συχνά ο φυσικός τρόπος να διατυπωθεί το πρόβλημα.

Τι σημαίνει μια διαφορική εξίσωση

Ένα απλό παράδειγμα είναι

$$\frac{dy}{dx} = 3y$$

Αυτό λέει ότι ο ρυθμός μεταβολής του $y$ είναι πάντα τρεις φορές η τρέχουσα τιμή του $y$. Αν το $y$ είναι θετικό, αυξάνεται. Αν το $y$ είναι αρνητικό, γίνεται ακόμη πιο αρνητικό. Αν $y=0$, τότε και ο ρυθμός μεταβολής είναι $0$.

Το άγνωστο δεν είναι ένας μόνο αριθμός. Το άγνωστο είναι ολόκληρη η συνάρτηση $y(x)$ που κάνει τον κανόνα αληθινό.

Κύριοι τύποι διαφορικών εξισώσεων

Συνήθεις vs. μερικές

Μια συνήθης διαφορική εξίσωση, ή ODE, χρησιμοποιεί παραγώγους ως προς μία μεταβλητή. Για παράδειγμα,

$$\frac{dy}{dx} = x - y$$

είναι ODE επειδή το $y$ εξαρτάται μόνο από το $x$.

Μια μερική διαφορική εξίσωση, ή PDE, χρησιμοποιεί μερικές παραγώγους επειδή το άγνωστο εξαρτάται από περισσότερες από μία μεταβλητές. Η εξίσωση θερμότητας είναι ένα κλασικό παράδειγμα:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Αν τώρα ξεκινάς, οι ODE είναι συνήθως το σωστό σημείο εισόδου.

Τάξη

Η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η υψηλότερη παράγωγος που εμφανίζεται.

• Πρώτης τάξης: $\frac{dy}{dx} + y = 0$
• Δεύτερης τάξης: $\frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0$

Η τάξη έχει σημασία γιατί συνήθως δείχνει πόσες συνθήκες χρειάζεσαι για να προσδιορίσεις μία συγκεκριμένη λύση.

Γραμμικές vs. μη γραμμικές

Μια εξίσωση είναι γραμμική αν η άγνωστη συνάρτηση και οι παράγωγοί της εμφανίζονται μόνο στην πρώτη δύναμη και δεν πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους. Για παράδειγμα,

$$y' + 2y = x$$

είναι γραμμική, αλλά

$$y' = y^2$$

είναι μη γραμμική.

Αυτή η διάκριση έχει σημασία γιατί οι γραμμικές εξισώσεις έχουν συχνά πιο τυποποιημένες μεθόδους λύσης.

Γιατί έχουν σημασία οι αρχικές και οριακές συνθήκες

Μια διαφορική εξίσωση έχει συχνά πολλές λύσεις, όχι μόνο μία. Οι επιπλέον πληροφορίες σου λένε ποια από αυτές θέλεις.

Μια αρχική συνθήκη δίνει την τιμή της συνάρτησης, ή μερικές φορές των παραγώγων της, σε ένα σημείο. Για παράδειγμα, το $y(0)=2$ επιλέγει μία συγκεκριμένη καμπύλη λύσης.

Μια οριακή συνθήκη δίνει πληροφορία σε ένα ή περισσότερα άκρα, κάτι που είναι συνηθισμένο σε προβλήματα φυσικής και μηχανικής που ορίζονται σε ένα διάστημα ή μια περιοχή.

Λυμένο παράδειγμα: Λύσε την $\frac{dy}{dx} = 3y$ με $y(0)=2$

Λύσε την

$$\frac{dy}{dx} = 3y, \qquad y(0)=2$$

Αυτή είναι μια ODE πρώτης τάξης και είναι χωριζόμενη, επειδή οι όροι με $y$ και οι όροι με $x$ μπορούν να μπουν σε διαφορετικές πλευρές.

Για λύσεις με $y \ne 0$, διαιρούμε με το $y$:

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3$$

και τη γράφουμε ως

$$\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx$$

Τώρα ολοκληρώνουμε και τις δύο πλευρές:

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx$$

οπότε

$$\ln|y| = 3x + C$$

Υψώνουμε και τις δύο πλευρές στη βάση $e$:

$$|y| = e^\{3x+C\} = Ae^\{3x\}$$

Απορροφούμε το πρόσημο στη σταθερά και ξαναγράφουμε:

$$y = Ce^{3x}$$

Τώρα χρησιμοποιούμε την αρχική συνθήκη:

$$2 = y(0) = Ce^0 = C$$

Άρα η λύση που ικανοποιεί τη συνθήκη είναι

$$y = 2e^{3x}$$

Μπορείς να το ελέγξεις άμεσα:

$$y' = 6e^{3x} = 3(2e^{3x}) = 3y$$

οπότε ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση και τη συνθήκη.

Μια προϋπόθεση έχει σημασία εδώ: η διαίρεση με το $y$ υποθέτει ότι $y \ne 0$. Η σταθερή λύση $y=0$ λύνει επίσης την $\frac{dy}{dx}=3y$, αλλά δεν ικανοποιεί το $y(0)=2$, άρα δεν είναι η λύση αυτού του προβλήματος αρχικών τιμών.

Βασικές μέθοδοι και πότε εφαρμόζονται

Διαφορετικές μορφές απαιτούν διαφορετικές μεθόδους. Η μέθοδος εξαρτάται από τη δομή της εξίσωσης, όχι από προτίμηση.

• Ο διαχωρισμός μεταβλητών λειτουργεί όταν μπορείς να αναδιατάξεις την εξίσωση σε μορφή όπως $g(y)\,dy = f(x)\,dx$.
• Οι ολοκληρωτικοί παράγοντες χρησιμοποιούνται για γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης της μορφής $y' + p(x)y = q(x)$.
• Οι χαρακτηριστικές εξισώσεις είναι ένα βασικό εργαλείο για ορισμένες γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, όπως η $y'' - 3y' + 2y = 0$.
• Οι αριθμητικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν ένας ακριβής τύπος είναι δύσκολο ή αδύνατο να βρεθεί.

Η ασφαλής πορεία είναι: πρώτα κατάταξη, μετά επιλογή της μεθόδου που ταιριάζει.

Συνηθισμένα λάθη στις διαφορικές εξισώσεις

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να προσπαθείς να λύσεις πριν κάνεις κατάταξη. Αν δεν προσέξεις αν μια εξίσωση είναι χωριζόμενη, γραμμική ή ανώτερης τάξης, είναι εύκολο να επιλέξεις λάθος μέθοδο.

Ένα άλλο λάθος είναι να αγνοήσεις τη συνθήκη. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης συνήθως δίνει μια οικογένεια συναρτήσεων, αλλά η αρχική ή οριακή συνθήκη είναι αυτή που επιλέγει την πραγματική απάντηση του προβλήματος.

Ένα τρίτο λάθος είναι να διαιρείς με μια παράσταση χωρίς να δηλώνεις την προϋπόθεση. Στο λυμένο παράδειγμα, η διαίρεση με το $y$ είναι έγκυρη μόνο σε διαστήματα όπου $y \ne 0$, γι’ αυτό η μηδενική λύση πρέπει να εξεταστεί ξεχωριστά.

Πού χρησιμοποιούνται οι διαφορικές εξισώσεις

Οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται κάθε φορά που ένα μοντέλο εξαρτάται από μεταβολή στον χρόνο, στον χώρο ή και στα δύο.

• Στη φυσική, περιγράφουν την κίνηση, την ταλάντωση, τη βαρύτητα και τη ροή θερμότητας.
• Στη βιολογία, μοντελοποιούν τη μεταβολή πληθυσμών, την εξάπλωση και τους ρυθμούς αντίδρασης.
• Στη μηχανική, εμφανίζονται σε κυκλώματα, συστήματα ελέγχου και στη συμπεριφορά σημάτων.
• Στα οικονομικά, μπορούν να περιγράψουν την ανάπτυξη και την προσαρμογή με την πάροδο του χρόνου.

Δεν χρειάζεται να λύνεις προχωρημένες εξισώσεις με το χέρι για να ωφεληθείς από την ιδέα. Ακόμη και η βασική κατάταξη σε βοηθά να καταλάβεις τι είδους μοντέλο έχεις μπροστά σου.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με

$$\frac{dy}{dx} = -2y, \qquad y(0)=5$$

Κατάταξέ την πρώτα, λύσε την με διαχωρισμό μεταβλητών και μετά έλεγξε το αποτέλεσμα παραγωγίζοντας την απάντησή σου. Αν θέλεις να πας ένα βήμα παραπέρα, σύγκρινέ την με την $y' + 2y = x$ και πρόσεξε γιατί αλλάζει η μέθοδος.