Young Modülü — Gerilme, Birim Şekil Değiştirme ve Elastisite

Young modülü, bir malzemeyi çektiğinizde veya sıkıştırdığınızda ne kadar rijit olduğunu gösterir. Doğrusal elastik bölgede, gerilmenin birim şekil değiştirmeye oranıdır:

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

Burada $\sigma$ normal gerilme, $\epsilon$ ise normal birim şekil değiştirmedir. İki malzeme aynı gerilme altındaysa, $E$ değeri daha büyük olanın boyu daha az değişir.

Temel fikir şudur: Young modülü dayanımı değil, rijitliği ölçer. Yük kaldırıldığında malzeme hâlâ ilk şekline dönebiliyorken ne kadar şekil değiştirdiğini söyler.

Gerilme, Birim Şekil Değiştirme ve Elastisite Ne Demektir?

Gerilme, kuvvetin alana yayılmasıdır:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Birim şekil değiştirme, boydaki bağıl değişimdir:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Elastisite, yük kaldırıldıktan sonra malzemenin yaklaşık olarak ilk şekline dönmesi demektir. Young modülü, gerilme ile birim şekil değiştirmeyi yalnızca malzeme doğrusal elastik bölgede olduğunda ilişkilendirir; bu bölgede gerilme, birim şekil değiştirme ile yaklaşık olarak orantılıdır.

Eksenel yük altındaki düzgün bir çubuk için, tanımları birleştirince şu elde edilir:

$$E = \frac{F/A}{\Delta L/L_0}$$

Düzenlenirse uzama için kullanışlı bir formül elde edilir:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Bu formu yalnızca çubuğun kesiti düzgünse ve yükleme esas olarak boyu doğrultusundaysa kullanın.

Sezgi: Young Modülü Doğrusal Kısmın Eğimine Eşittir

Young modülü, gerilme-birim şekil değiştirme grafiğinin doğrusal kısmının eğimidir. Eğimin büyük olması, küçük bir birim şekil değiştirme oluşturmak için çok gerilme gerektiği anlamına gelir; yani malzeme rijittir. Eğimin küçük olması ise malzemenin daha kolay şekil değiştirdiğini gösterir.

Çelik ile kauçuğun neden bu kadar farklı hissettirdiği de budur. Aynı gerilme altında çelik, genellikle kauçuğa göre boyunu çok daha küçük bir oranda değiştirir.

Çözümlü Örnek: Bir Çubuk Ne Kadar Uzar?

Bir metal çubuğun şu değerlere sahip olduğunu varsayalım:

• $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

Uzamayı $\Delta L$ bulun.

Şununla başlayın:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Değerleri yerine koyun:

$$\Delta L = \frac{(1.0 \times 10^4)(2.0)}{(1.0 \times 10^{-4})(2.0 \times 10^{11})}$$ $$\Delta L = \frac{2.0 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

Buna göre çubuk şu kadar uzar:

$$1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{mm}$$

Önemli nokta bu küçük uzamadır. Young modülü büyük olan bir malzeme, elastik bölgede kaldığı sürece büyük bir kuvvet taşıyabilir ve yine de çok az uzar.

Young Modülüyle İlgili Yaygın Hatalar

Rijitlik ile dayanımı aynı şey sanmak

Young modülü, bir malzemenin dayanabileceği en büyük gerilmeyi söylemez. Bu tür bir kırılma sorusuna gelmeden önce malzemenin ne kadar şekil değiştirdiğini söyler.

$E = \sigma/\epsilon$ bağıntısını elastik bölgenin dışında kullanmak

Gerilme-birim şekil değiştirme eğrisi artık doğrusal çizgiden sapmışsa, tek bir sabit $E$ değeri davranışın tamamını aynı basit şekilde açıklayamaz.

Birim şekil değiştirmenin bir oran olduğunu, bir uzunluk olmadığını unutmak

Birim şekil değiştirme sadece $\Delta L$ değildir. $\Delta L/L_0$'dır; yani ilk uzunluk önemlidir.

Özellikle alan için birimleri karıştırmak

Birçok yanlış cevap, gerilme için paskal kullanılırken alanın $\mathrm{mm^2}$ cinsinden bırakılmasından kaynaklanır. Çünkü $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$ olduğundan, alanın da bu birimlerle uyumlu olması gerekir.

Young Modülü Nerelerde Kullanılır?

Young modülü, şekil değiştirmenin önemli olduğu durumlarda kullanılır. Çubuklar, teller ve taşıyıcı elemanlarla ilgili problemlerde karşınıza çıkar; burada ilk soru çoğu zaman “Kırılır mı?” değil, “Fazla uzar mı ya da sıkışır mı?” olur.

Daha büyük modellerin içinde de yer alır. Örneğin kiriş sehim ve burkulma formüllerinde, $E$ bir yapının eğilmeye veya elastik kararsızlığa ne kadar güçlü karşı koyduğunu belirlemeye yardımcı olur.

Benzer Bir Problem Deneyin

Aynı çubuğu alın, ama kesit alanını iki katına çıkarın. Hesap yapmadan önce $\Delta L$'nin ne olacağını tahmin edin. Sonra yalnızca $E$'yi değiştirerek aynı karşılaştırmayı yapın ve aynı yük altında hangi malzemenin daha rijit hissedileceğini sorun.