Elastizitätsmodul nach Young — Spannung, Dehnung & Elastizität

Das Elastizitätsmodul nach Young gibt an, wie steif ein Material ist, wenn man es zieht oder zusammendrückt. Im linear-elastischen Bereich ist es das Verhältnis von Spannung zu Dehnung:

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

Hier ist $\sigma$ die Normalspannung und $\epsilon$ die Normaldehnung. Wenn zwei Materialien unter derselben Spannung stehen, ändert das mit dem größeren $E$ seine Länge weniger.

Das ist die zentrale Idee: Das Elastizitätsmodul nach Young misst die Steifigkeit, nicht die Festigkeit. Es sagt dir, wie stark sich ein Material verformt, solange es nach dem Entfernen der Last wieder in seine ursprüngliche Form zurückkehrt.

Was Spannung, Dehnung und Elastizität bedeuten

Spannung ist Kraft, verteilt auf eine Fläche:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Dehnung ist die relative Längenänderung:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Elastizität bedeutet, dass das Material nach dem Entfernen der Last näherungsweise in seine ursprüngliche Form zurückkehrt. Das Elastizitätsmodul nach Young verknüpft Spannung und Dehnung nur dann, wenn sich das Material im linear-elastischen Bereich befindet, in dem die Spannung näherungsweise proportional zur Dehnung ist.

Für einen gleichmäßigen Stab unter axialer Belastung ergibt sich durch Kombination der Definitionen:

$$E = \frac{F/A}{\Delta L/L_0}$$

Umgestellt erhält man eine praktische Formel für die Verlängerung:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Verwende diese Form nur, wenn der Stab einen gleichmäßigen Querschnitt hat und die Belastung hauptsächlich entlang seiner Länge wirkt.

Anschaulich: Das Elastizitätsmodul nach Young ist die Steigung des geraden Teils

Das Elastizitätsmodul nach Young ist die Steigung des geradlinigen Abschnitts in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Eine große Steigung bedeutet, dass viel Spannung nötig ist, um eine kleine Dehnung zu erzeugen, also ist das Material steif. Eine kleine Steigung bedeutet, dass sich das Material leichter verformt.

Deshalb fühlen sich Stahl und Gummi so unterschiedlich an. Unter derselben Spannung ändert Stahl seine Länge normalerweise um einen viel kleineren Anteil als Gummi.

Rechenbeispiel: Wie stark dehnt sich ein Stab?

Angenommen, ein Metallstab hat

• $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

Gesucht ist die Verlängerung $\Delta L$.

Beginne mit

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Setze die Werte ein:

$$\Delta L = \frac{(1.0 \times 10^4)(2.0)}{(1.0 \times 10^{-4})(2.0 \times 10^{11})}$$ $$\Delta L = \frac{2.0 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

Der Stab verlängert sich also um

$$1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{mm}$$

Genau diese kleine Verlängerung ist der Punkt. Ein Material mit großem Elastizitätsmodul nach Young kann eine große Kraft aufnehmen und sich trotzdem nur wenig dehnen, solange es im elastischen Bereich bleibt.

Häufige Fehler beim Elastizitätsmodul nach Young

Steifigkeit und Festigkeit als dasselbe behandeln

Das Elastizitätsmodul nach Young sagt dir nicht, welche maximale Spannung ein Material aushält. Es sagt dir, wie stark sich das Material verformt, bevor die Frage nach dem Versagen überhaupt relevant wird.

$E = \sigma/\epsilon$ außerhalb des elastischen Bereichs verwenden

Wenn sich die Spannungs-Dehnungs-Kurve bereits von einer Geraden weggebogen hat, beschreibt ein einzelner konstanter Wert von $E$ das gesamte Verhalten nicht mehr auf dieselbe einfache Weise.

Vergessen, dass Dehnung ein Verhältnis und keine Länge ist

Dehnung ist nicht einfach nur $\Delta L$. Sie ist $\Delta L/L_0$, also spielt die ursprüngliche Länge eine Rolle.

Einheiten vermischen, besonders bei der Fläche

Viele falsche Ergebnisse entstehen, weil die Fläche in $\mathrm{mm^2}$ belassen wird, während für die Spannung Pascal verwendet werden. Da $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$ gilt, muss die Fläche zu diesen Einheiten passen.

Wo das Elastizitätsmodul nach Young verwendet wird

Das Elastizitätsmodul nach Young wird verwendet, wenn Verformung wichtig ist. Es taucht in Aufgaben zu Stäben, Drähten und Bauteilen auf, bei denen die erste Frage oft nicht „Bricht es?“, sondern „Dehnt oder staucht es sich zu stark?“ lautet.

Es erscheint auch in größeren Modellen. In Formeln zur Balkendurchbiegung und zum Knicken hilft $E$ zum Beispiel dabei zu bestimmen, wie stark sich eine Struktur gegen Biegung oder elastische Instabilität wehrt.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Behalte denselben Stab bei, aber verdopple die Querschnittsfläche. Sage vor dem Rechnen voraus, was mit $\Delta L$ passiert. Versuche dann denselben Vergleich, indem du nur $E$ änderst, und frage dich, welches Material sich unter derselben Last steifer anfühlen würde.