Moduł Younga — naprężenie, odkształcenie i sprężystość

Moduł Younga mówi, jak sztywny jest materiał podczas rozciągania lub ściskania. W zakresie liniowo sprężystym jest to stosunek naprężenia do odkształcenia:

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

Tutaj $\sigma$ oznacza naprężenie normalne, a $\epsilon$ — odkształcenie względne normalne. Jeśli dwa materiały są poddane temu samemu naprężeniu, ten o większym $E$ zmienia swoją długość mniej.

To jest najważniejsza idea: moduł Younga mierzy sztywność, a nie wytrzymałość. Mówi, jak bardzo materiał się odkształca, dopóki po usunięciu obciążenia nadal wraca do swojego pierwotnego kształtu.

Co oznaczają naprężenie, odkształcenie i sprężystość

Naprężenie to siła rozłożona na powierzchnię:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Odkształcenie względne to ułamkowa zmiana długości:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Sprężystość oznacza, że po usunięciu obciążenia materiał w przybliżeniu wraca do swojego pierwotnego kształtu. Moduł Younga łączy naprężenie z odkształceniem tylko wtedy, gdy materiał znajduje się w obszarze liniowo sprężystym, gdzie naprężenie jest w przybliżeniu proporcjonalne do odkształcenia.

Dla jednorodnego pręta poddanego obciążeniu osiowemu, po połączeniu definicji otrzymujemy:

$$E = \frac{F/A}{\Delta L/L_0}$$

Po przekształceniu dostajemy praktyczny wzór na wydłużenie:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Używaj tej postaci tylko wtedy, gdy pręt ma stały przekrój poprzeczny, a obciążenie działa głównie wzdłuż jego długości.

Intuicja: moduł Younga to nachylenie prostoliniowego odcinka

Moduł Younga jest nachyleniem prostoliniowej części wykresu naprężenie–odkształcenie. Duże nachylenie oznacza, że potrzeba dużego naprężenia, aby wywołać małe odkształcenie, więc materiał jest sztywny. Małe nachylenie oznacza, że materiał odkształca się łatwiej.

Dlatego stal i guma wydają się tak różne. Przy tym samym naprężeniu stal zwykle zmienia długość o znacznie mniejszą część niż guma.

Przykład obliczeniowy: o ile wydłuży się pręt?

Załóżmy, że metalowy pręt ma

• $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

Wyznacz wydłużenie $\Delta L$.

Zacznij od

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Podstaw wartości:

$$\Delta L = \frac{(1.0 \times 10^4)(2.0)}{(1.0 \times 10^{-4})(2.0 \times 10^{11})}$$ $$\Delta L = \frac{2.0 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

Zatem pręt wydłuża się o

$$1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{mm}$$

Na tym właśnie polega sens tego wyniku. Materiał o dużym module Younga może przenosić dużą siłę, a mimo to wydłużać się tylko nieznacznie, o ile pozostaje w zakresie sprężystym.

Częste błędy związane z modułem Younga

Traktowanie sztywności i wytrzymałości jako tego samego

Moduł Younga nie mówi, jakie maksymalne naprężenie materiał może wytrzymać. Mówi, jak bardzo materiał się odkształca, zanim w ogóle dojdziemy do pytania o zniszczenie.

Używanie $E = \sigma/\epsilon$ poza obszarem sprężystym

Jeśli wykres naprężenie–odkształcenie odchylił się już od linii prostej, jedna stała wartość $E$ nie opisuje już całego zachowania w ten sam prosty sposób.

Zapominanie, że odkształcenie jest ilorazem, a nie długością

Odkształcenie to nie samo $\Delta L$. To $\Delta L/L_0$, więc długość początkowa ma znaczenie.

Mieszanie jednostek, zwłaszcza pola powierzchni

Wiele błędnych odpowiedzi wynika z pozostawienia pola powierzchni w $\mathrm{mm^2}$ przy jednoczesnym użyciu paskali dla naprężenia. Ponieważ $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$, pole musi być wyrażone w zgodnych jednostkach.

Gdzie stosuje się moduł Younga

Moduł Younga stosuje się wtedy, gdy odkształcenie ma znaczenie. Pojawia się w zadaniach dotyczących prętów, drutów i elementów konstrukcyjnych, gdzie pierwsze pytanie często nie brzmi „Czy to pęknie?”, lecz „Czy to rozciągnie się lub ściśnie za bardzo?”.

Pojawia się też w większych modelach. Na przykład we wzorach na ugięcie belek i wyboczenie $E$ pomaga określić, jak silnie konstrukcja przeciwstawia się zginaniu lub sprężystej utracie stateczności.

Spróbuj podobnego zadania

Zachowaj ten sam pręt, ale podwój pole przekroju poprzecznego. Zanim zaczniesz liczyć, przewidź, co stanie się z $\Delta L$. Następnie wykonaj podobne porównanie, zmieniając tylko $E$, i zastanów się, który materiał byłby sztywniejszy przy tym samym obciążeniu.