มอดูลัสของยัง — ความเค้น ความเครียด และความยืดหยุ่น

มอดูลัสของยังบอกว่าวัสดุแข็งแค่ไหนเมื่อถูกดึงหรืออัด ในช่วงยืดหยุ่นเชิงเส้น มันคืออัตราส่วนของความเค้นต่อความเครียด:

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

โดยที่ $\sigma$ คือความเค้นปกติ และ $\epsilon$ คือความเครียดปกติ ถ้าวัสดุสองชนิดอยู่ภายใต้ความเค้นเท่ากัน วัสดุที่มีค่า $E$ มากกว่าจะเปลี่ยนความยาวน้อยกว่า

นี่คือแนวคิดสำคัญ: มอดูลัสของยังวัดความแข็ง ไม่ใช่ความแข็งแรง มันบอกว่าวัสดุเสียรูปมากแค่ไหนในขณะที่ยังสามารถกลับคืนสู่รูปร่างเดิมได้หลังเอาแรงออก

ความเค้น ความเครียด และความยืดหยุ่น หมายถึงอะไร

ความเค้นคือแรงที่กระจายอยู่บนพื้นที่:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

ความเครียดคืออัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงของความยาว:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

ความยืดหยุ่นหมายความว่า วัสดุสามารถกลับคืนสู่รูปร่างเดิมได้โดยประมาณหลังเอาแรงออก มอดูลัสของยังเชื่อมโยงความเค้นกับความเครียดได้ก็ต่อเมื่อวัสดุอยู่ในช่วงยืดหยุ่นเชิงเส้น ซึ่งเป็นช่วงที่ความเค้นแปรผันตามความเครียดโดยประมาณ

สำหรับแท่งสม่ำเสมอที่รับแรงตามแนวแกน เมื่อนำคำนิยามมารวมกันจะได้:

$$E = \frac{F/A}{\Delta L/L_0}$$

จัดรูปใหม่จะได้สูตรที่ใช้หาการยืดตัวได้สะดวก:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

ใช้รูปนี้ได้เฉพาะเมื่อแท่งมีหน้าตัดสม่ำเสมอ และแรงกระทำส่วนใหญ่อยู่ตามแนวความยาวของแท่ง

มองภาพให้ง่าย: มอดูลัสของยังคือความชันของส่วนเส้นตรง

มอดูลัสของยังคือความชันของส่วนที่เป็นเส้นตรงในกราฟความเค้น-ความเครียด ความชันมากหมายความว่าต้องใช้ความเค้นมากเพื่อให้เกิดความเครียดเพียงเล็กน้อย ดังนั้นวัสดุจึงแข็งกว่า ความชันน้อยหมายความว่าวัสดุเสียรูปได้ง่ายกว่า

นี่จึงเป็นเหตุผลที่เหล็กกับยางให้ความรู้สึกต่างกันมาก ภายใต้ความเค้นเท่ากัน เหล็กมักเปลี่ยนความยาวเป็นสัดส่วนที่น้อยกว่ายางมาก

ตัวอย่างคำนวณ: แท่งวัสดุยืดออกเท่าไร

สมมติว่าแท่งโลหะมี

• $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

จงหาการยืดตัว $\Delta L$

เริ่มจาก

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

แทนค่าลงไป:

$$\Delta L = \frac{(1.0 \times 10^4)(2.0)}{(1.0 \times 10^{-4})(2.0 \times 10^{11})}$$ $$\Delta L = \frac{2.0 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

ดังนั้นแท่งวัสดุยืดออกเป็น

$$1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{mm}$$

การยืดออกเพียงเล็กน้อยนี้คือประเด็นสำคัญ วัสดุที่มีมอดูลัสของยังสูงสามารถรับแรงได้มากและยังยืดออกเพียงเล็กน้อย ตราบใดที่ยังอยู่ในช่วงยืดหยุ่น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับมอดูลัสของยัง

คิดว่าความแข็งกับความแข็งแรงเป็นสิ่งเดียวกัน

มอดูลัสของยังไม่ได้บอกความเค้นสูงสุดที่วัสดุจะทนได้ มันบอกเพียงว่าวัสดุเสียรูปมากแค่ไหนก่อนจะไปถึงคำถามเรื่องการวิบัติแบบนั้น

ใช้ $E = \sigma/\epsilon$ นอกช่วงยืดหยุ่น

ถ้าเส้นโค้งความเค้น-ความเครียดเริ่มโค้งออกจากเส้นตรงแล้ว ค่า $E$ ค่าคงที่เพียงค่าเดียวจะไม่สามารถอธิบายพฤติกรรมทั้งหมดได้อย่างง่ายแบบเดิมอีกต่อไป

ลืมว่าความเครียดเป็นอัตราส่วน ไม่ใช่ความยาว

ความเครียดไม่ใช่แค่ $\Delta L$ แต่คือ $\Delta L/L_0$ ดังนั้นความยาวเริ่มต้นจึงมีความสำคัญ

ใช้หน่วยปะปนกัน โดยเฉพาะหน่วยพื้นที่

คำตอบที่ผิดจำนวนมากเกิดจากการปล่อยให้พื้นที่อยู่ในหน่วย $\mathrm{mm^2}$ ขณะที่ใช้ปาสคาลเป็นหน่วยของความเค้น เนื่องจาก $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$ พื้นที่จึงต้องใช้หน่วยให้สอดคล้องกัน

มอดูลัสของยังถูกใช้ที่ไหน

มอดูลัสของยังถูกใช้เมื่อการเสียรูปมีความสำคัญ มันปรากฏในโจทย์เกี่ยวกับแท่ง ลวด และชิ้นส่วนโครงสร้าง ซึ่งคำถามแรกมักไม่ใช่ “มันจะหักไหม?” แต่เป็น “มันจะยืดหรืออัดมากเกินไปหรือไม่?”

มันยังปรากฏอยู่ในแบบจำลองที่ใหญ่ขึ้นด้วย ตัวอย่างเช่น ในสูตรการโก่งตัวของคานและการโก่งเดาะ ค่า $E$ ช่วยกำหนดว่าโครงสร้างต้านทานการดัดงอหรือความไม่เสถียรเชิงยืดหยุ่นได้มากเพียงใด

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ใช้แท่งเดิม แต่เพิ่มพื้นที่หน้าตัดเป็นสองเท่า ก่อนคำนวณ ลองทำนายว่า $\Delta L$ จะเปลี่ยนอย่างไร จากนั้นลองเปรียบเทียบแบบเดียวกันโดยเปลี่ยนเฉพาะค่า $E$ แล้วถามว่าวัสดุชนิดใดจะให้ความรู้สึกแข็งกว่าภายใต้แรงเท่ากัน