영률 — 응력, 변형률, 탄성

영률은 재료를 잡아당기거나 압축할 때 얼마나 강직한지를 나타냅니다. 선형 탄성 범위에서는 응력과 변형률의 비로 정의됩니다:

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

여기서 $\sigma$ 는 수직응력이고, $\epsilon$ 는 수직변형률입니다. 두 재료에 같은 응력이 작용할 때, $E$ 가 더 큰 재료는 길이 변화가 더 작습니다.

이것이 핵심입니다. 영률은 강도를 나타내는 값이 아니라 강직성을 나타내는 값입니다. 즉, 하중을 제거했을 때 원래 형태로 돌아오는 범위에서 재료가 얼마나 변형되는지를 알려줍니다.

응력, 변형률, 탄성이 의미하는 것

응력은 면적당 작용하는 힘입니다:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

변형률은 길이 변화의 비율입니다:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

탄성이란 하중을 제거한 뒤 재료가 대체로 원래 형태로 돌아오는 성질을 말합니다. 영률은 재료가 선형 탄성 구간에 있을 때만 응력과 변형률을 연결해 주며, 이 구간에서는 응력이 변형률에 거의 비례합니다.

축방향 하중을 받는 균일한 막대에서는, 정의들을 결합하면 다음과 같습니다:

$$E = \frac{F/A}{\Delta L/L_0}$$

이를 정리하면 신장량에 대한 실용적인 식을 얻습니다:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

이 식은 막대의 단면이 일정하고 하중이 주로 길이 방향으로 작용할 때만 사용해야 합니다.

직관적으로 이해하기: 영률은 직선 구간의 기울기

영률은 응력-변형률 그래프에서 직선 부분의 기울기입니다. 기울기가 가파르다는 것은 작은 변형률을 만들기 위해 큰 응력이 필요하다는 뜻이므로, 재료가 강직합니다. 기울기가 완만하면 재료가 더 쉽게 변형됩니다.

그래서 강철과 고무의 느낌이 크게 다릅니다. 같은 응력 아래에서 강철은 보통 고무보다 길이 변화 비율이 훨씬 작습니다.

예제: 막대는 얼마나 늘어날까?

금속 막대의 조건이 다음과 같다고 합시다.

• $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

신장량 $\Delta L$ 을 구해 봅시다.

먼저 다음 식을 사용합니다:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

값을 대입하면:

$$\Delta L = \frac{(1.0 \times 10^4)(2.0)}{(1.0 \times 10^{-4})(2.0 \times 10^{11})}$$ $$\Delta L = \frac{2.0 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

따라서 막대의 신장량은

$$1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{mm}$$

입니다.

이처럼 신장량이 작다는 점이 중요합니다. 영률이 큰 재료는 큰 힘을 받아도, 탄성 범위에 있는 한 아주 조금만 늘어날 수 있습니다.

영률에서 자주 하는 실수

강직성과 강도를 같은 것으로 보는 경우

영률은 재료가 견딜 수 있는 최대 응력을 알려주지 않습니다. 그런 파손 문제에 이르기 전까지 재료가 얼마나 변형되는지를 알려주는 값입니다.

탄성 구간 밖에서 $E = \sigma/\epsilon$ 를 사용하는 경우

응력-변형률 곡선이 이미 직선에서 벗어났다면, 하나의 일정한 $E$ 값으로 전체 거동을 같은 방식으로 단순하게 설명할 수 없습니다.

변형률을 길이로 착각하는 경우

변형률은 단순히 $\Delta L$ 이 아닙니다. $\Delta L/L_0$ 이므로 원래 길이 $L_0$ 가 중요합니다.

특히 단면적에서 단위를 섞는 경우

많은 오답은 응력에 파스칼을 쓰면서 단면적을 $\mathrm{mm^2}$ 로 그대로 두기 때문에 나옵니다. $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$ 이므로 단면적 단위도 이에 맞아야 합니다.

영률은 어디에 쓰일까?

영률은 변형이 중요한 문제에서 사용됩니다. 막대, 와이어, 구조 부재에 관한 문제에서 자주 등장하며, 이때 첫 질문은 종종 "부러질까?"가 아니라 "너무 많이 늘어나거나 압축될까?"입니다.

또한 더 큰 모델 안에서도 등장합니다. 예를 들어 보의 처짐이나 좌굴 공식에서는, $E$ 가 구조물이 굽힘이나 탄성 불안정성에 얼마나 강하게 저항하는지를 결정하는 데 도움을 줍니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

같은 막대를 유지한 채 단면적만 두 배로 늘려 보세요. 계산하기 전에 $\Delta L$ 이 어떻게 될지 먼저 예측해 보세요. 그다음에는 $E$ 만 바꿔서 같은 비교를 해 보고, 같은 하중에서 어떤 재료가 더 강직하게 느껴질지도 생각해 보세요.