Mô đun Young — Ứng suất, Biến dạng & Tính đàn hồi

Mô đun Young cho biết vật liệu cứng đến mức nào khi bạn kéo hoặc nén nó. Trong miền đàn hồi tuyến tính, nó là tỉ số giữa ứng suất và biến dạng:

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

Ở đây, $\sigma$ là ứng suất pháp và $\epsilon$ là biến dạng pháp. Nếu hai vật liệu chịu cùng một ứng suất, vật liệu có $E$ lớn hơn sẽ thay đổi chiều dài ít hơn.

Đó là ý chính: mô đun Young đo độ cứng, không phải độ bền. Nó cho biết vật liệu biến dạng bao nhiêu trong khi vẫn còn có thể trở về hình dạng ban đầu sau khi bỏ tải.

Ứng Suất, Biến Dạng Và Tính Đàn Hồi Là Gì

Ứng suất là lực phân bố trên diện tích:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Biến dạng là độ thay đổi chiều dài tương đối:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Tính đàn hồi nghĩa là vật liệu gần đúng trở về hình dạng ban đầu sau khi bỏ tải. Mô đun Young chỉ liên hệ ứng suất với biến dạng khi vật liệu nằm trong miền đàn hồi tuyến tính, nơi ứng suất gần đúng tỉ lệ với biến dạng.

Với một thanh đồng đều chịu tải dọc trục, kết hợp các định nghĩa ta được:

$$E = \frac{F/A}{\Delta L/L_0}$$

Biến đổi lại cho ta công thức thực tế để tính độ dãn dài:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Chỉ dùng dạng này khi thanh có tiết diện đều và tải tác dụng chủ yếu dọc theo chiều dài của nó.

Trực Giác: Mô Đun Young Là Độ Dốc Của Phần Thẳng

Mô đun Young là độ dốc của phần đường thẳng trên đồ thị ứng suất–biến dạng. Độ dốc lớn nghĩa là cần nhiều ứng suất để tạo ra một biến dạng nhỏ, nên vật liệu cứng. Độ dốc nhỏ nghĩa là vật liệu biến dạng dễ hơn.

Đó là lý do thép và cao su cho cảm giác rất khác nhau. Dưới cùng một ứng suất, thép thường thay đổi chiều dài theo tỉ lệ nhỏ hơn nhiều so với cao su.

Ví Dụ Có Lời Giải: Một Thanh Dãn Ra Bao Nhiêu?

Giả sử một thanh kim loại có

• $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

Hãy tìm độ dãn dài $\Delta L$.

Bắt đầu với

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Thay các giá trị vào:

$$\Delta L = \frac{(1.0 \times 10^4)(2.0)}{(1.0 \times 10^{-4})(2.0 \times 10^{11})}$$ $$\Delta L = \frac{2.0 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

Vậy thanh dãn ra một đoạn

$$1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{mm}$$

Độ dãn nhỏ đó chính là điều đáng chú ý. Một vật liệu có mô đun Young lớn có thể chịu lực lớn mà vẫn chỉ dãn ra rất ít, miễn là nó vẫn nằm trong miền đàn hồi.

Những Lỗi Thường Gặp Về Mô Đun Young

Xem độ cứng và độ bền là cùng một thứ

Mô đun Young không cho biết ứng suất lớn nhất mà vật liệu có thể chịu được. Nó cho biết vật liệu biến dạng bao nhiêu trước cả khi ta xét đến câu hỏi về phá hủy như vậy.

Dùng $E = \sigma/\epsilon$ ngoài miền đàn hồi

Nếu đường cong ứng suất–biến dạng đã lệch khỏi đường thẳng, thì một giá trị $E$ không đổi không còn mô tả toàn bộ ứng xử theo cách đơn giản như trước nữa.

Quên rằng biến dạng là một tỉ số, không phải một độ dài

Biến dạng không chỉ là $\Delta L$. Nó là $\Delta L/L_0$, nên chiều dài ban đầu rất quan trọng.

Trộn lẫn đơn vị, đặc biệt là diện tích

Nhiều đáp án sai xuất phát từ việc để diện tích theo $\mathrm{mm^2}$ trong khi lại dùng pascal cho ứng suất. Vì $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$, diện tích phải phù hợp với các đơn vị đó.

Mô Đun Young Được Dùng Ở Đâu

Mô đun Young được dùng khi biến dạng là yếu tố quan trọng. Nó xuất hiện trong các bài toán về thanh, dây và cấu kiện kết cấu, nơi câu hỏi đầu tiên thường không phải là "Nó có gãy không?" mà là "Nó có dãn hoặc nén quá nhiều không?"

Nó cũng xuất hiện trong các mô hình lớn hơn. Chẳng hạn, trong các công thức độ võng của dầm và mất ổn định uốn, $E$ giúp xác định kết cấu chống lại sự uốn cong hoặc mất ổn định đàn hồi mạnh đến mức nào.

Thử Một Bài Tương Tự

Giữ nguyên thanh đó, nhưng tăng gấp đôi diện tích tiết diện. Trước khi tính, hãy dự đoán điều gì xảy ra với $\Delta L$. Sau đó thử so sánh tương tự bằng cách chỉ thay đổi $E$ và tự hỏi vật liệu nào sẽ cho cảm giác cứng hơn dưới cùng một tải.