Modulo di Young — sforzo, deformazione ed elasticità

Il modulo di Young ti dice quanto è rigido un materiale quando lo tiri o lo comprimi. Nell'intervallo elastico lineare, è il rapporto tra sforzo e deformazione:

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

Qui, $\sigma$ è lo sforzo normale ed $\epsilon$ è la deformazione normale. Se due materiali sono sottoposti allo stesso sforzo, quello con $E$ maggiore cambia lunghezza di meno.

Questa è l'idea chiave: il modulo di Young misura la rigidezza, non la resistenza. Ti dice quanto si deforma un materiale mentre è ancora in grado di tornare alla sua forma originale dopo che il carico viene rimosso.

Che cosa significano sforzo, deformazione ed elasticità

Lo sforzo è la forza distribuita su un'area:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

La deformazione è la variazione relativa di lunghezza:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Elasticità significa che il materiale torna approssimativamente alla sua forma originale dopo che il carico viene rimosso. Il modulo di Young collega sforzo e deformazione solo quando il materiale si trova nella regione elastica lineare, dove lo sforzo è approssimativamente proporzionale alla deformazione.

Per una barra uniforme soggetta a carico assiale, combinando le definizioni si ottiene:

$$E = \frac{F/A}{\Delta L/L_0}$$

Riordinando si ottiene una formula pratica per l'allungamento:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Usa questa forma solo quando la barra ha una sezione trasversale uniforme e il carico agisce principalmente lungo la sua lunghezza.

Intuizione: il modulo di Young è la pendenza della parte rettilinea

Il modulo di Young è la pendenza della parte rettilinea del grafico sforzo-deformazione. Una pendenza elevata significa che serve molto sforzo per produrre una piccola deformazione, quindi il materiale è rigido. Una pendenza ridotta significa che il materiale si deforma più facilmente.

Per questo acciaio e gomma danno sensazioni così diverse. A parità di sforzo, l'acciaio di solito cambia lunghezza di una frazione molto più piccola rispetto alla gomma.

Esempio svolto: di quanto si allunga una barra?

Supponi che una barra metallica abbia

• $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

Trova l'allungamento $\Delta L$.

Parti da

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Sostituisci i valori:

$$\Delta L = \frac{(1.0 \times 10^4)(2.0)}{(1.0 \times 10^{-4})(2.0 \times 10^{11})}$$ $$\Delta L = \frac{2.0 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

Quindi la barra si allunga di

$$1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{mm}$$

Questo piccolo allungamento è proprio il punto. Un materiale con un modulo di Young grande può sopportare una forza elevata e allungarsi comunque di poco, purché resti nell'intervallo elastico.

Errori comuni sul modulo di Young

Considerare rigidezza e resistenza come la stessa cosa

Il modulo di Young non ti dice qual è lo sforzo massimo che un materiale può sopportare. Ti dice quanto il materiale si deforma prima ancora di arrivare a quel tipo di problema legato alla rottura.

Usare $E = \sigma/\epsilon$ fuori dalla regione elastica

Se la curva sforzo-deformazione si è già allontanata da una linea retta, un unico valore costante di $E$ non descrive più l'intero comportamento in modo così semplice.

Dimenticare che la deformazione è un rapporto, non una lunghezza

La deformazione non è semplicemente $\Delta L$. È $\Delta L/L_0$, quindi la lunghezza iniziale conta.

Mescolare le unità, soprattutto per l'area

Molte risposte sbagliate derivano dal lasciare l'area in $\mathrm{mm^2}$ mentre si usano i pascal per lo sforzo. Poiché $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$, l'area deve essere espressa in unità compatibili.

Dove si usa il modulo di Young

Il modulo di Young si usa quando la deformazione conta. Compare in problemi su barre, fili ed elementi strutturali in cui la prima domanda spesso non è "Si romperà?" ma "Si allungherà o si comprimerà troppo?"

Compare anche all'interno di modelli più ampi. Nelle formule della flessione delle travi e dell'instabilità per carico di punta, per esempio, $E$ aiuta a determinare quanto fortemente una struttura resiste alla flessione o all'instabilità elastica.

Prova un problema simile

Mantieni la stessa barra, ma raddoppia l'area della sezione trasversale. Prima di calcolare, prevedi che cosa succede a $\Delta L$. Poi prova lo stesso confronto cambiando solo $E$ e chiediti quale materiale risulterebbe più rigido sotto lo stesso carico.