杨氏模量——应力、应变与弹性

杨氏模量告诉你，材料在被拉伸或压缩时有多“硬”。在线性弹性范围内，它等于应力与应变之比：

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

这里，$\sigma$ 是正应力，$\epsilon$ 是正应变。如果两种材料承受相同的应力，$E$ 更大的那一种长度变化会更小。

这就是核心思想：杨氏模量衡量的是刚度，不是强度。它描述的是材料在卸载后仍能恢复原状时，会发生多大变形。

应力、应变和弹性分别是什么意思

应力是单位面积上所受的力：

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

应变是长度的相对变化：

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

弹性表示材料在去掉载荷后，能够近似恢复到原来的形状。只有当材料处在线性弹性区时，杨氏模量才把应力和应变联系起来；在这个区域内，应力与应变近似成正比。

对于承受轴向载荷的均匀杆件，把这些定义结合起来可得：

$$E = \frac{F/A}{\Delta L/L_0}$$

整理后可得到一个实用的伸长公式：

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

只有当杆件横截面均匀，且载荷主要沿其长度方向作用时，才能使用这个形式。

直观理解：杨氏模量就是直线段的斜率

在应力—应变图上，杨氏模量就是那段直线部分的斜率。斜率越陡，表示要产生很小的应变就需要很大的应力，因此材料越刚硬。斜率越缓，表示材料越容易发生变形。

这就是为什么钢和橡胶摸起来差别很大。在相同应力下，钢的长度变化比例通常远小于橡胶。

例题：一根杆会伸长多少？

设一根金属杆具有

• $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

求伸长量 $\Delta L$。

先写出

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

代入数值：

$$\Delta L = \frac{(1.0 \times 10^4)(2.0)}{(1.0 \times 10^{-4})(2.0 \times 10^{11})}$$ $$\Delta L = \frac{2.0 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

所以这根杆的伸长量为

$$1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{mm}$$

这个很小的伸长量正是关键所在。只要材料仍处于弹性范围内，杨氏模量大的材料即使承受很大的力，也只会伸长一点点。

杨氏模量常见错误

把刚度和强度当成同一回事

杨氏模量并不能告诉你材料最多能承受多大的应力。它告诉你的是，在讨论是否失效之前，材料会发生多大变形。

在线性弹性区之外使用 $E = \sigma/\epsilon$

如果应力—应变曲线已经偏离直线，那么单一常数 $E$ 就不能再用同样简单的方式描述整体行为。

忘记应变是比值，不是长度

应变不只是 $\Delta L$。它是 $\Delta L/L_0$，所以原长很重要。

单位混用，尤其是面积单位

很多错误答案都来自面积仍用 $\mathrm{mm^2}$，而应力却用帕斯卡。由于 $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$，面积单位必须与之匹配。

杨氏模量用在哪里

当变形大小很重要时，就会用到杨氏模量。它常出现在杆、导线和结构构件的问题中，这类问题首先问的往往不是“会不会断”，而是“会不会拉得太长或压得太短”。

它也会出现在更大的模型中。例如在梁挠度和屈曲公式里，$E$ 有助于决定结构抵抗弯曲或弹性失稳的能力。

试试类似的问题

保持同一根杆不变，但把横截面积加倍。先别计算，先预测 $\Delta L$ 会怎样变化。然后再只改变 $E$ 做同样的比较，想一想在相同载荷下哪种材料会显得更刚硬。