Kürenin Hacmi — Formül ve Çözümlü Örnekler

Kürenin hacmi, kürenin içindeki boşluktur. Yarıçap $r$ ise şu formülü kullanın:

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

Bu formülü çapla değil, yarıçapla kullanın. Soruda çap $d$ verilmişse önce dönüştürün:

$$r = \frac{d}{2}$$

Bu tek adım, kürenin hacmi sorularında yapılan en yaygın hatayı önler.

Cevap, hacim üç boyutlu uzayı ölçtüğü için $\text{cm}^3$ veya $\text{m}^3$ gibi küp birimlerle yazılır.

Formülde neden $r^3$ kullanılır?

$r^3$ terimi, hacmin yalnızca uzunluğa ya da alana değil, üç boyutlu büyüklüğe bağlı olduğunu gösterir. Bu yüzden yarıçap değiştiğinde hacim hızlı bir şekilde değişir.

Örneğin yarıçap $r$'den $2r$'ye çıkarsa,

$$V_{\text{new}} = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$$

Yani yarıçapı iki katına çıkarmak hacmi $8$ kat büyütür. Bir cevap fazla küçük görünüyorsa bu, iyi bir kontrol yöntemidir.

Çözümlü örnek: çaptan hacmi bulma

Bir kürenin çapının $10$ cm olduğunu düşünelim. Hacmini bulun.

Önce çapı yarıçapa çevirin:

$$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$$

Şimdi formülde $r = 5$ yazın:

$$V = \frac{4}{3}\pi (5^3)$$

$5^3 = 125$ olduğuna göre,

$$V = \frac{4}{3}\pi (125) = \frac{500}{3}\pi$$

Buna göre tam hacim

$$\frac{500}{3}\pi\ \text{cm}^3$$

Ondalık yaklaşık değer istenirse,

$$V \approx 523.6\ \text{cm}^3$$

Bu örnek yararlıdır çünkü birçok soruda yarıçap yerine çap verilir.

Kürenin hacminde sık yapılan hatalar

1. Yarıçap yerine doğrudan çapı kullanmak.
2. Yarıçapın küpünü almak yerine karesini almak.
3. Hacim ile yüzey alanını karıştırmak. Kürenin yüzey alanı $4\pi r^2$'dir ve bu farklı bir formüldür.
4. Son cevapta küp birimleri yazmayı unutmak.

Soru tam değer istiyorsa cevabı $\pi$ cinsinden bırakın. Yaklaşık değer istiyorsa, öğretmeniniz farklı söylemedikçe yuvarlamayı en sonda yapın.

Kürenin hacim formülü ne zaman kullanılır?

Kürenin hacmi; geometri, ölçme ve fen bilimleri sorularında, bir cisim makul şekilde küre olarak modellenebildiğinde karşınıza çıkar. Yaygın örnekler arasında toplar, baloncuklar, damlacıklar ve bazı tanklar bulunur.

Nesnenin durumu önemlidir. Eğer cisim yalnızca yaklaşık olarak küreselse, sonuç da yaklaşık olur.

Devam etmeden önce hızlı kontrol

Yarıçap büyürse hacim, yarıçapın kendisinden çok daha hızlı artmalıdır. Örneğin yarıçapı üç katına çıkarmak hacmi $3^3 = 27$ katına çıkarır. Son sayılarınız bu tür bir büyümeyi göstermiyorsa kurulumu tekrar kontrol edin.

Benzer bir soru deneyin

Yarıçapı $4$ m olan bir küre için kendi sorunuzı çözün. Önce tam hacmi, sonra ondalık yaklaşık değeri bulun. Ardından yalnızca yarıçapı $8$ m yapın ve $r^3$ teriminin hacmi ne kadar güçlü etkilediğini görmek için iki sonucu karşılaştırın.