Sayılar Teorisi — Asal Sayılar, Bölünebilme ve Modüler Aritmetik

Sayılar teorisi, tam sayıların incelenmesidir. Asal sayıları, bölünebilmeyi veya modüler aritmetiği anlamak istiyorsanız, zaten sayılar teorisinin merkezine bakıyorsunuz demektir.

Asal sayı, $1$'den büyük ve tam olarak iki pozitif böleni olan bir tam sayıdır: $1$ ve kendisi. Bölünebilme, bir tam sayının diğerini kalansız bölüp bölmediğini sorar. Modüler aritmetik ise kalanları izler; bu yüzden buna sık sık saat aritmetiği de denir.

Sayılar Teorisi Neleri Kapsar?

Bu üç fikir birbiriyle bağlantılıdır:

• Asal sayılar, pozitif tam sayıların temel yapı taşlarıdır.
• Bölünebilme, bir tam sayının diğerinin içine tam olarak kaçıp kaçmadığını söyler.
• Modüler aritmetik, bölünebilme sorularını kalan soruları olarak yeniden ifade eder.

Örneğin, "$a$, $n$'ye bölünür" demek, şu ifadeyle aynıdır:

$$a \equiv 0 \pmod n$$

Yani bir bölünebilme sorusu çoğu zaman bir kalan sorusu olarak yeniden yazılabilir.

Asal Sayılar: Yapı Taşları

Asal sayılar şöyle başlar:

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$$

$2$ sayısı tek çift asal sayıdır. Diğer her çift sayı $2$'ye bölünür, bu yüzden asal olamaz.

$1$'den büyük bir pozitif tam sayı asal değilse, bileşik sayı olarak adlandırılır. Örneğin, $21$ bileşiktir çünkü

$$21 = 3 \cdot 7$$

Asal sayılar önemlidir çünkü $1$'den büyük her tam sayı, çarpanların sırası dışında, asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Asal çarpanlara ayırmanın arkasındaki fikir budur.

Bölünebilme: Bir Sayı Diğerine Tam Bölündüğünde

$a$ ve $b$ tam sayılar, $b \ne 0$ olmak üzere, "$b$, $a$'yı böler" demek, öyle bir $k$ tam sayısı vardır ki

$$a = bk$$

Bu durum şöyle yazılır:

$$b \mid a$$

Örneğin, $4 \mid 20$ çünkü $20 = 4 \cdot 5$. Ama $4 \nmid 22$ çünkü $22$ sayısı $4$'e bölündüğünde kalan verir.

Bölünebilme; çarpanlar, katlar, en büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat kavramlarının dilidir. Ayrıca bildiğimiz testleri de açıklar:

• Son basamağı çift olan bir sayı $2$'ye bölünür.
• Son basamağı $0$ veya $5$ olan bir sayı $5$'e bölünür.
• Rakamları toplamı $3$'e bölünen bir sayı $3$'e bölünür.

Bu son kural bir hile değildir. Modüler aritmetikten gelir.

Modüler Aritmetik: Kalanlarla Çalışmak

İki tam sayı, $n$ ile bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa, mod $n$'ye göre denktir denir. Bunu şöyle yazarız:

$$a \equiv b \pmod n$$

Bu, $n$'nin $a-b$'yi böldüğü anlamına gelir.

Örneğin,

$$17 \equiv 5 \pmod{12}$$

çünkü $17$ ve $5$, $12$ ile bölündüğünde ikisi de $5$ kalanını verir; ayrıca $12$, $17 - 5 = 12$ sayısını da böler.

Bu kullanışlıdır çünkü bir sayıyı, ona denk ama daha basit bir sayıyla değiştirebilirsiniz. $12$ saatlik bir saatte, $15$ saat eklemek ile $3$ saat eklemek aynı etkiyi yapar çünkü

$$15 \equiv 3 \pmod{12}$$

Çözümlü Örnek: $231$ Neden $3$'e Bölünür?

$231$ sayısını ele alalım.

Önce onu basamak değerine göre yazalım:

$$231 = 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1$$

Şimdi mod $3$'te çalışalım. Çünkü

$$10 \equiv 1 \pmod 3$$

olduğundan,

$$100 = 10^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 3$$

elde ederiz. O hâlde

$$231 \equiv 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \equiv 2 + 3 + 1 = 6 \equiv 0 \pmod 3$$

$231 \equiv 0 \pmod 3$ olduğuna göre, bu sayı $3$'e bölünür.

Bu, rakamlar toplamı kuralını açıklar: $10$ tabanında, $10$'un her kuvveti mod $3$'te $1$'e denktir; dolayısıyla sayının tamamı, rakamları toplamıyla aynı kalanı verir.

Ve bölmeyi yaptığınızda,

$$231 = 3 \cdot 77 = 3 \cdot 7 \cdot 11$$

olur; yani $231$ asaldır değil, bileşiktir.

Sayılar Teorisinde Yaygın Hatalar

$1$'i Asal Saymak

$1$ asal değildir. Bir asal sayının tam olarak iki pozitif böleni olmalıdır, oysa $1$'in yalnızca bir tane vardır.

Bölünebilmedeki Koşulu Unutmak

$b \mid a$ ifadesi yalnızca $b \ne 0$ iken anlamlıdır. Sıfıra bölme yapılamaz.

Eşitlik ile Denkliği Karıştırmak

$17 \equiv 5 \pmod{12}$, $17 = 5$ demek değildir. Aralarındaki farkın $12$'nin bir katı olduğu anlamına gelir.

Bölünebilme Kurallarını Fazla Kullanmak

Bazı testler hızlıdır çünkü $10$ tabanındaki aritmetik onların güzel çalışmasını sağlar. Bu, her bölen için basit bir rakam kuralı olduğu anlamına gelmez.

Sayılar Teorisi Nerelerde Karşımıza Çıkar?

Okul düzeyinde sayılar teorisi; çarpanlara ayırma, kalan problemleri, bölünebilme ispatları ve saat tipi sorularda karşımıza çıkar. Kesirleri sadeleştirirken, ortak çarpan ararken veya tekrar eden döngüler içeren problemleri çözerken de ortaya çıkar.

Daha ileri düzeyde ise asal sayılar ve modüler aritmetik, kriptografi ve bilgisayar biliminde de merkezi bir yere sahiptir. Bu fikirleri kullanmak için o altyapıya ihtiyacınız yoktur, ama sayılar teorisinin neden uygulamalı alanlarda sürekli yeniden ortaya çıktığını açıklamaya yardımcı olur.

Kendi Versiyonunuzu Deneyin

Aynı akıl yürütmeyi $462$ için deneyin. Önce rakamları toplamını kullanarak $3$'e bölünüp bölünmediğini test edin, sonra asal mı bileşik mi olduğuna karar verecek kadar çarpanlara ayırın.

Yönteminizi kontrol etmek isterseniz, benzer bir bölünebilme veya kalan problemini bir matematik çözücüsünde çözün ve modüler aritmetik adımlarını kendi adımlarınızla karşılaştırın.