En Büyük Ortak Bölen (EBOB) — Nasıl Bulunur?

En büyük ortak bölen ya da EBOB, iki veya daha fazla tam sayının her birini kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıdır. $18$ ve $24$ sayılarının EBOB’unu bulmanız gerekiyorsa cevap $6$ olur; çünkü $6$ her iki sayıyı da tam böler ve bundan daha büyük hiçbir tam sayı bunu yapmaz.

EBOB’u çarpanları listeleyerek ya da asal çarpanlara ayırma yöntemiyle bulabilirsiniz. Küçük sayılarda listeleme genellikle daha hızlıdır. Sayılar büyüdüğünde ise asal çarpanlara ayırma çoğu zaman daha düzenli bir yöntemdir.

En Büyük Ortak Bölenin Anlamı

Bir çarpan, başka bir tam sayıyı kalansız bölen tam sayıdır. Ortak çarpan, sayıların paylaştığı çarpandır. En büyük ortak bölen ise paylaştıkları çarpanların en büyüğüdür.

Bu yüzden EBOB, gruplama problemlerinde ve kesirleri sadeleştirmede karşınıza çıkar. Okul matematiğinde, pozitif tam sayılar için EBOB ve en büyük ortak bölen genellikle aynı anlamda kullanılır.

EBOB Nasıl Bulunur?

1. Çarpanları Listeleyin

Her sayının tüm çarpanlarını yazın, sonra iki listede de bulunan en büyük sayıyı bulun.

$18$ sayısının çarpanları şunlardır:

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$

$24$ sayısının çarpanları şunlardır:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

Her iki listede de bulunan en büyük çarpan $6$’dır.

2. Asal Çarpanlara Ayırmayı Kullanın

Her sayıyı asal çarpanlarına ayırın, sonra yalnızca iki sayının ortak olduğu asal çarpanları alın. Ortak bir asal çarpan birden fazla kez geçiyorsa, küçük olan üssü kullanın. Elde edilen ortak çarpım EBOB’tur.

Çözümlü Örnek: 18 ve 24’ün EBOB’u

$18$ ve $24$ sayılarının EBOB’unu asal çarpanlara ayırma yöntemiyle bulun.

Önce her sayıyı çarpanlarına ayıralım:

$$18 = 2 \cdot 3^2$$ $$24 = 2^3 \cdot 3$$

Şimdi yalnızca iki sayının ortak olduğu asal çarpanları alalım ve her ortak asal için küçük olan üssü kullanalım. Her iki sayıda da ortak bir $2$ ve ortak bir $3$ vardır:

$$2^1 \cdot 3^1 = 6$$

Dolayısıyla:

$$\mathrm{GCF}(18,24) = 6$$

Hızlı bir kontrol bunu doğrular. Hem $18 \div 6$ hem de $24 \div 6$ tam sayıdır; bir sonraki daha büyük aday olan $12$ ise $18$’i tam bölmez.

EBOB ile İlgili Yaygın Hatalar

Yaygın hatalardan biri çok erken durmaktır. $18$ ve $24$ için hem $2$ hem de $3$ ortak çarpandır, ama ikisi de en büyük ortak bölen değildir.

Bir başka hata da çarpanlarla katları karıştırmaktır. EBOB, her iki sayıyı da kalansız bölen sayıları arar. Sayıların büyüyerek ulaşabileceği katları aramaz.

Öğrenciler bazen asal çarpanlara ayırma yaparken ortak asal çarpanları da gözden kaçırır. Bir asal çarpan her iki sayıda da varsa, EBOB’un içinde yer almalıdır; ancak yalnızca küçük olan üs kadar alınır.

En Büyük Ortak Bölen Ne Zaman Kullanılır?

EBOB; kesirleri sadeleştirmek, nesneleri mümkün olan en büyük eşit gruplara ayırmak ya da birkaç ölçüyü tam bölen en büyük birim uzunluğu bulmak istediğinizde özellikle kullanışlıdır.

Örneğin, $\frac{18}{24}$ kesrini sadeleştirmek için önce payı ve paydayı EBOB’ları olan $6$’ya bölersiniz:

$$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

Benzer Bir Soru Deneyin

$20$ ve $30$ sayılarının EBOB’unu önce çarpanları listeleyerek, sonra asal çarpanlara ayırarak bulmayı deneyin. İki yöntem de aynı cevabı veriyorsa, konuyu kavramışsınız demektir.