Trigonometrische Graphen — Sinus, Kosinus, Tangens & Transformationen

Trigonometrische Graphen zeigen, wie sich $\sin x$, $\cos x$ und $\tan x$ ändern, wenn sich $x$ ändert. Der schnelle Weg, sie zu lesen, ist einfach: Sinus und Kosinus sind periodische Wellen, Tangens wiederholt sich in Ästen mit vertikalen Asymptoten, und Transformationen bestimmen Höhe, Breite, Verschiebung und Spiegelung des Grundgraphen.

Wenn du von einer Gleichung aus zeichnest, beginne mit vier Fragen: Was ist die Grundfunktion? Wie groß ist die Periode? Wo liegt die Mittellinie oder Zentrallinie? Wurde der Graph verschoben oder gespiegelt?

Wie Sinus-, Kosinus- und Tangensgraphen aussehen

Der grundlegende Sinusgraph, $y=\sin x$, geht durch den Ursprung und wiederholt sich alle $2\pi$, wenn $x$ im Bogenmaß gemessen wird. Der grundlegende Kosinusgraph, $y=\cos x$, hat dieselbe Wellenform und dieselbe Periode, beginnt aber bei seinem Maximalwert, wenn $x=0$.

Der grundlegende Tangensgraph, $y=\tan x$, verhält sich anders. Er wiederholt sich alle $\pi$, schneidet den Ursprung und hat vertikale Asymptoten dort, wo $\cos x = 0$. Weil Tangens unbeschränkt ist, hat er keine Amplitude.

Wenn in deinem Unterricht Winkel in Grad statt im Bogenmaß gemessen werden, sind die Grundperioden $360^\circ$ für Sinus und Kosinus und $180^\circ$ für Tangens.

Wie Amplitude, Periode und Verschiebungen den Graphen verändern

Für Sinus und Kosinus ist eine häufige Darstellungsform

$$y = a\sin(b(x-h))+k$$

oder

$$y = a\cos(b(x-h))+k$$

Wenn $x$ im Bogenmaß angegeben ist, dann gilt:

• Amplitude $= |a|$
• Periode $= \frac{2\pi}{|b|}$
• horizontale Verschiebung $= h$
• vertikale Verschiebung $= k$
• Mittellinie $= y=k$

Wenn $a<0$, wird der Graph an seiner Mittellinie gespiegelt. Wenn $b<0$, wird der Graph horizontal gespiegelt. In vielen Skizzen im Unterricht geht es trotzdem vor allem darum, Periode, Verschiebung und wichtige Punkte richtig zu bestimmen.

Für Tangens ist die übliche Form

$$y = a\tan(b(x-h))+k$$

und wenn $x$ im Bogenmaß angegeben ist,

• Periode $= \frac{\pi}{|b|}$
• horizontale Verschiebung $= h$
• vertikale Verschiebung $= k$

Es gibt weiterhin einen vertikalen Streckfaktor durch $a$, aber er wird nicht Amplitude genannt, weil Tangens keinen höchsten oder niedrigsten Wert hat.

Was Amplitude und Periode bedeuten

Die Amplitude gibt an, wie weit sich ein Sinus- oder Kosinusgraph über und unter seine Mittellinie bewegt. Wenn die Amplitude $3$ ist, steigt der Graph $3$ Einheiten über die Mittellinie und fällt $3$ Einheiten darunter.

Die Periode gibt an, welche Strecke der Graph auf der $x$-Achse für eine vollständige Wiederholung braucht. Eine kleinere Periode bedeutet, dass der Graph horizontal gestaucht ist. Eine größere Periode bedeutet, dass er horizontal gestreckt ist.

Das ist das wichtigste Muster, das du dir merken solltest: $a$ und $k$ steuern das vertikale Verhalten, während $b$ und $h$ das horizontale Verhalten steuern.

Beispiel: Zeichne $y=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$

Beginne mit dem Grundgraphen $y=\sin x$.

Lies nun jede Transformation ab:

• $a=-2$, also ist die Amplitude $2$ und der Graph wird an der Mittellinie gespiegelt.
• $b=1$, also bleibt die Periode $2\pi$.
• $h=\frac{\pi}{3}$, also wird der Graph um $\frac{\pi}{3}$ nach rechts verschoben.
• $k=1$, also ist die Mittellinie $y=1$.

Der Graph schwingt also um $y=1$, erreicht ein Maximum bei $y=3$, ein Minimum bei $y=-1$ und durchläuft eine Periode über die Breite $2\pi$.

Für eine schnelle Skizze kannst du die fünf Standardstellen des Sinus in einer Periode nehmen und transformieren. Die wichtigen Punkte werden zu

$$\left(\frac{\pi}{3},1\right), \left(\frac{5\pi}{6},-1\right), \left(\frac{4\pi}{3},1\right), \left(\frac{11\pi}{6},3\right), \left(\frac{7\pi}{3},1\right)$$

Diese Punkte zeigen die ganze Form: Beginne auf der Mittellinie, gehe wegen der Spiegelung zuerst nach unten, kehre zur Mittellinie zurück, steige zum Hochpunkt und komme wieder zur Mittellinie zurück.

Das ist die Gewohnheit, die am meisten Zeit spart: Transformiere den Grundgraphen, statt den Graphen jedes Mal von Grund auf neu aufzubauen.

Wie transformierte Tangensgraphen funktionieren

Beim Tangens braucht man ein anderes Denkmodell, weil der Graph um Asymptoten herum aufgebaut ist und nicht um Hoch- und Tiefpunkte.

Beim Grundgraphen $y=\tan x$ liegen die vertikalen Asymptoten bei

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

für ganze Zahlen $n$, und die Nullstellen liegen bei

$$x = n\pi$$

Für einen transformierten Graphen $y=a\tan(b(x-h))+k$ treten die Asymptoten auf, wenn

$$b(x-h) = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

also ist ihr Abstand im Bogenmaß $\frac{\pi}{|b|}$. Bei $y=\tan(2x)$ wird dieser Abstand zu $\frac{\pi}{2}$, sodass sich die Äste doppelt so oft wiederholen. Dieser Abstand ist wichtiger, als in Begriffen der Amplitude zu denken.

Häufige Fehler bei trigonometrischen Graphen

Die Streckung beim Tangens „Amplitude“ nennen

Sinus und Kosinus haben einen größten und einen kleinsten Abstand zur Mittellinie, daher ist der Begriff Amplitude sinnvoll. Tangens flacht nicht ab und hat deshalb keine Amplitude.

Das Vorzeichen der horizontalen Verschiebung falsch deuten

Bei $y=\sin(x-2)$ wird der Graph um $2$ nach rechts verschoben, nicht nach links. Das Vorzeichen in der Klammer wirkt am Anfang oft umgekehrt.

Die Formel für die Periode verwechseln

Wenn der Graph mit einem Faktor $b$ im Argument geschrieben ist, wird die Periode durch $|b|$ geteilt. Für Sinus und Kosinus bedeutet das im Bogenmaß $\frac{2\pi}{|b|}$. Für Tangens bedeutet es $\frac{\pi}{|b|}$.

Vergessen, ob die Achse Bogenmaß oder Grad verwendet

Die Formeln oben verwenden das Bogenmaß. Wenn ein Kurs oder ein Graph Grad verwendet, ersetze $2\pi$ durch $360^\circ$ und $\pi$ durch $180^\circ$.

Wann trigonometrische Graphen verwendet werden

Trigonometrische Graphen werden immer dann verwendet, wenn sich ein Muster wiederholt. In der Schulmathematik helfen sie dir, Transformationen, periodisches Verhalten und den Zusammenhang zwischen Einheitskreis und Funktionen zu verstehen. Außerhalb dieses Kontexts tauchen dieselben Formen bei Wellen, Schall, jahreszeitlichen Zyklen, rotierenden Systemen und Signalmodellen auf.

Du brauchst diesen zusätzlichen Kontext nicht, um einen Graphen richtig zu lesen. In den meisten Kursen besteht die praktische Aufgabe darin, die Grundform zu erkennen, eine Periode oder einen Ast zu bestimmen und die Transformationen sorgfältig nachzuverfolgen.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Skizziere $y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)-1$. Bestimme zuerst Amplitude, Periode, Verschiebung und Mittellinie, bevor du Punkte einzeichnest. Wenn du den Graphen in Worten beschreiben kannst, bevor du ihn zeichnest, beginnen die Transformationen wirklich Sinn zu ergeben.