Grafici goniometrici — seno, coseno, tangente e trasformazioni

I grafici goniometrici mostrano come $\sin x$, $\cos x$ e $\tan x$ cambiano al variare di $x$. Il modo più rapido per leggerli è semplice: seno e coseno sono onde periodiche, la tangente si ripete in rami con asintoti verticali, e le trasformazioni indicano altezza, larghezza, traslazione e riflessione del grafico di base.

Se devi tracciare il grafico a partire da un’equazione, inizia con quattro domande: qual è la funzione di base? Qual è il periodo? Dov’è la linea mediana o linea centrale? Il grafico è stato traslato o riflesso?

Come appaiono i grafici di seno, coseno e tangente

Il grafico base del seno, $y=\sin x$, passa per l’origine e si ripete ogni $2\pi$ quando $x$ è misurato in radianti. Il grafico base del coseno, $y=\cos x$, ha la stessa forma ondulata e lo stesso periodo, ma parte dal suo valore massimo quando $x=0$.

Il grafico base della tangente, $y=\tan x$, si comporta in modo diverso. Si ripete ogni $\pi$, passa per l’origine e ha asintoti verticali dove $\cos x = 0$. Poiché la tangente è illimitata, non ha ampiezza.

Se nel tuo corso gli angoli sono misurati in gradi invece che in radianti, i periodi base sono $360^\circ$ per seno e coseno, e $180^\circ$ per la tangente.

Come ampiezza, periodo e traslazioni cambiano il grafico

Per seno e coseno, una forma comune è

$$y = a\sin(b(x-h))+k$$

oppure

$$y = a\cos(b(x-h))+k$$

Se $x$ è in radianti, allora:

• ampiezza $= |a|$
• periodo $= \frac{2\pi}{|b|}$
• spostamento orizzontale $= h$
• spostamento verticale $= k$
• linea mediana $= y=k$

Se $a<0$, il grafico viene riflesso rispetto alla sua linea mediana. Se $b<0$, il grafico viene riflesso orizzontalmente. In molti schizzi fatti in classe, i compiti principali restano comunque trovare correttamente periodo, traslazione e punti chiave.

Per la tangente, la forma usuale è

$$y = a\tan(b(x-h))+k$$

e, se $x$ è in radianti,

• periodo $= \frac{\pi}{|b|}$
• spostamento orizzontale $= h$
• spostamento verticale $= k$

C’è comunque un fattore di dilatazione verticale dato da $a$, ma non si chiama ampiezza perché la tangente non ha un valore massimo o minimo.

Che cosa significano ampiezza e periodo

L’ampiezza indica di quanto un grafico di seno o coseno si sposta sopra e sotto la sua linea mediana. Se l’ampiezza è $3$, il grafico sale di $3$ unità sopra la linea mediana e scende di $3$ unità sotto di essa.

Il periodo indica quanto bisogna avanzare lungo l’asse $x$ perché il grafico completi una ripetizione intera. Un periodo più piccolo significa che il grafico è compresso orizzontalmente. Un periodo più grande significa che è dilatato.

Questo è lo schema principale da ricordare: $a$ e $k$ controllano il comportamento verticale, mentre $b$ e $h$ controllano quello orizzontale.

Esempio svolto: grafico di $y=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$

Parti dal grafico di base $y=\sin x$.

Ora leggi ogni trasformazione:

• $a=-2$, quindi l’ampiezza è $2$ e il grafico è riflesso rispetto alla linea mediana.
• $b=1$, quindi il periodo resta $2\pi$.
• $h=\frac{\pi}{3}$, quindi il grafico è traslato a destra di $\frac{\pi}{3}$.
• $k=1$, quindi la linea mediana è $y=1$.

Quindi il grafico oscilla attorno a $y=1$, raggiunge un massimo in $y=3$, raggiunge un minimo in $y=-1$ e completa un ciclo su una larghezza di $2\pi$.

Per uno schizzo rapido, usa i cinque input standard del seno in un ciclo e trasformali. I punti chiave diventano

$$\left(\frac{\pi}{3},1\right), \left(\frac{5\pi}{6},-1\right), \left(\frac{4\pi}{3},1\right), \left(\frac{11\pi}{6},3\right), \left(\frac{7\pi}{3},1\right)$$

Questi punti mostrano l’intera forma: si parte sulla linea mediana, si scende per prima cosa a causa della riflessione, si torna sulla linea mediana, si sale fino al picco e si ritorna alla linea mediana.

Questa è l’abitudine che fa risparmiare più tempo: trasformare il grafico di base invece di ricostruire il grafico da zero.

Come funzionano i grafici trasformati della tangente

La tangente richiede un modello mentale diverso perché il grafico è costruito attorno agli asintoti, non ai picchi e alle valli.

Per il grafico di base $y=\tan x$, gli asintoti verticali sono in

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

per interi $n$, e gli zeri sono in

$$x = n\pi$$

Per un grafico trasformato $y=a\tan(b(x-h))+k$, gli asintoti si hanno quando

$$b(x-h) = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

quindi la loro distanza è $\frac{\pi}{|b|}$ in radianti. In $y=\tan(2x)$, questa distanza diventa $\frac{\pi}{2}$, quindi i rami si ripetono il doppio delle volte. Questa distanza conta più che cercare di ragionare in termini di ampiezza.

Errori comuni con i grafici goniometrici

Chiamare "ampiezza" la dilatazione della tangente

Seno e coseno hanno una distanza massima e minima dalla linea mediana, quindi il concetto di ampiezza ha senso. La tangente non si appiattisce, quindi non ha ampiezza.

Sbagliare il segno della traslazione orizzontale

In $y=\sin(x-2)$, il grafico si sposta a destra di $2$, non a sinistra. All’inizio il segno dentro le parentesi spesso sembra invertito.

Confondere la formula del periodo

Se il grafico è scritto con un fattore $b$ dentro l’argomento, il periodo si divide per $|b|$. Per seno e coseno questo significa $\frac{2\pi}{|b|}$ in radianti. Per la tangente significa $\frac{\pi}{|b|}$.

Dimenticare se l’asse usa radianti o gradi

Le formule sopra usano i radianti. Se un corso o un grafico usa i gradi, sostituisci $2\pi$ con $360^\circ$ e $\pi$ con $180^\circ$.

Quando si usano i grafici goniometrici

I grafici goniometrici si usano ogni volta che un andamento si ripete. Nella matematica scolastica aiutano a capire le trasformazioni, il comportamento periodico e il legame tra circonferenza goniometrica e funzioni. Fuori da questo contesto, le stesse forme compaiono nelle onde, nel suono, nei cicli stagionali, nei sistemi rotanti e nei modelli di segnale.

Non ti serve tutto questo contesto aggiuntivo per leggere correttamente un grafico. Nella maggior parte dei corsi, il compito pratico è riconoscere la forma di base, individuare un ciclo o un ramo e seguire con attenzione le trasformazioni.

Prova un esercizio simile

Disegna il grafico di $y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)-1$. Per prima cosa individua ampiezza, periodo, traslazione e linea mediana prima di segnare qualsiasi punto. Se riesci a descrivere il grafico a parole prima di disegnarlo, allora le trasformazioni stanno iniziando a diventare intuitive.