Rozwiązywanie nierówności

Rozwiązywanie nierówności polega na znalezieniu wszystkich wartości, które sprawiają, że porównanie jest prawdziwe. Jeśli umiesz rozwiązać proste równanie, znasz już większość tego procesu. Główna dodatkowa zasada jest taka: jeśli mnożysz lub dzielisz obie strony przez liczbę ujemną, odwracasz znak nierówności.

Na przykład, $2x - 5 \le 9$ pyta o wszystkie wartości $x$, dla których lewa strona jest mniejsza lub równa $9$. Odpowiedzią jest zwykle zakres wartości, a nie jedna dokładna liczba.

Co oznacza rozwiązywanie nierówności

Równanie pyta o dokładną wartość lub wartości, które sprawiają, że obie strony są równe. Nierówność pyta o wszystkie wartości, dla których jedna strona jest większa, mniejsza, co najmniej tak duża albo co najwyżej tak duża jak druga.

Na przykład, $x < 4$ oznacza, że działa każda liczba mniejsza od $4$. To obejmuje $3$, $0$ i $-10$, ale nie samo $4$. Dlatego odpowiedzi w nierównościach opisują zbiór liczb.

Zasady rozwiązywania nierówności

Te kroki zachowują równoważność nierówności:

• Dodaj tę samą liczbę do obu stron.
• Odejmij tę samą liczbę od obu stron.
• Pomnóż obie strony przez tę samą liczbę dodatnią.
• Podziel obie strony przez tę samą liczbę dodatnią.

Jeśli mnożysz lub dzielisz obie strony przez liczbę ujemną, odwróć znak:

$$3 < 5$$

Pomnóż obie strony przez $-1$:

$$-3 > -5$$

Zdanie nadal jest prawdziwe, ale tylko dlatego, że kierunek zmienił się z $<$ na $>$.

Przykład: rozwiąż $-2x + 3 > 11$

Zacznij tak samo, jak przy rozwiązywaniu równania: wyznacz $x$.

Odejmij $3$ od obu stron:

$$-2x > 8$$

Teraz podziel obie strony przez $-2$. Ponieważ dzielisz przez liczbę ujemną, odwróć znak nierówności:

$$x < -4$$

To jest cały zbiór rozwiązań. Oznacza to, że każda liczba mniejsza od $-4$ sprawia, że początkowa nierówność jest prawdziwa.

Dlaczego znak nierówności się odwraca

Liczby ujemne odwracają porządek na osi liczbowej. Jeśli $a < b$, to $-a > -b$.

Dlatego podzielenie $-2x > 8$ przez $-2$ daje odpowiedź $x < -4$, a nie $x > -4$. Nie łamiesz zasad. Zachowujesz prawdziwe porównanie po zmianie obu stron przez czynnik ujemny.

Sprawdź odpowiedź za pomocą jednej wartości

Sprawdź wartość pasującą do odpowiedzi, na przykład $x = -5$:

$$-2(-5) + 3 = 13$$

Ponieważ $13 > 11$, początkowa nierówność jest prawdziwa.

Teraz sprawdź wartość spoza odpowiedzi, na przykład $x = 0$:

$$-2(0) + 3 = 3$$

Ponieważ $3 > 11$ jest fałszywe, zgadza się to z rozwiązaniem $x < -4$.

Typowe błędy przy rozwiązywaniu nierówności

Najczęstszy błąd to zapomnienie o odwróceniu znaku po mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną.

Inny błąd polega na traktowaniu odpowiedzi jak jednej wartości zamiast zakresu. Na przykład, $x \ge 2$ oznacza, że działa nieskończenie wiele wartości, a nie tylko $x = 2$.

Trzeci błąd to dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą bez znajomości jego znaku. Jeśli znak tego wyrażenia jest nieznany, kierunek nierówności może zależeć od dodatkowego warunku.

Gdzie stosuje się rozwiązywanie nierówności

Nierówności pojawiają się wszędzie tam, gdzie problem dotyczy ograniczeń zamiast dokładnej równości. Typowe przykłady to progi punktowe, ograniczenia budżetowe, zakresy bezpieczeństwa, ograniczenia dziedziny i zadania optymalizacyjne.

Pojawiają się też w całej algebrze, szczególnie przy zaznaczaniu przedziałów, rozwiązywaniu nierówności złożonych i opisywaniu dopuszczalnych rozwiązań w sytuacjach praktycznych.

Spróbuj podobnej nierówności

Spróbuj rozwiązać $5x - 7 \le 18$. Następnie rozwiąż $-3x + 4 \ge 1$ i porównaj ostatni krok. Jeśli chcesz pójść dalej, ułóż własny przykład z ujemnym współczynnikiem i sprawdź, czy odwróciłeś znak we właściwym momencie.