不等式の解き方

不等式を解くとは、比較が成り立つすべての値を見つけることです。基本的な方程式が解けるなら、手順の大部分はすでにわかっています。追加で大切なルールは1つだけです。両辺に負の数を掛けたり、負の数で割ったりしたら、不等号の向きを逆にします。

たとえば、$2x - 5 \le 9$ は、左辺が $9$ 以下になるような $x$ のすべての値を求める問題です。答えは1つの正確な数ではなく、ふつうは値の範囲になります。

不等式を解くとはどういうことか

方程式は、左右が等しくなる正確な値を求めます。不等式は、一方が他方より大きい、小さい、以上、以下になるすべての値を求めます。

たとえば、$x < 4$ は、$4$ より小さいすべての数が当てはまることを意味します。これには $3$、$0$、$-10$ は含まれますが、$4$ 自体は含まれません。だから不等式の答えは、数の集合として表されます。

不等式を解くときのルール

次の操作をしても、不等式は同値のまま保たれます。

• 両辺に同じ数を足す。
• 両辺から同じ数を引く。
• 両辺に同じ正の数を掛ける。
• 両辺を同じ正の数で割る。

両辺に負の数を掛けたり、負の数で割ったりするときは、不等号の向きを逆にします。

$$3 < 5$$

両辺に $-1$ を掛けると、

$$-3 > -5$$

となります。

この式は依然として正しいですが、それは $<$ から $>$ へ向きが変わったからです。

例題：$-2x + 3 > 11$ を解く

方程式を解くときと同じように始めます。まず $x$ を孤立させます。

両辺から $3$ を引くと、

$$-2x > 8$$

となります。

次に両辺を $-2$ で割ります。負の数で割るので、不等号の向きを逆にします。

$$x < -4$$

これが解全体です。つまり、$-4$ より小さいすべての数が、もとの不等式を成り立たせます。

なぜ不等号の向きが逆になるのか

負の数は、数直線上の順序を逆にします。$a < b$ なら、$-a > -b$ です。

そのため、$-2x > 8$ を $-2$ で割ると、答えは $x > -4$ ではなく $x < -4$ になります。これはルールを破っているのではありません。両辺を負の数倍したあとでも、正しい比較を保っているのです。

1つの値で答えを確かめる

答えに合う値として、$x = -5$ を代入してみます。

$$-2(-5) + 3 = 13$$

$13 > 11$ なので、もとの不等式は成り立ちます。

次に、答えの範囲に入らない値として、$x = 0$ を代入してみます。

$$-2(0) + 3 = 3$$

$3 > 11$ は成り立たないので、これは $x < -4$ という解と一致しています。

不等式を解くときのよくあるミス

最もよくあるミスは、負の数を掛けたり負の数で割ったりしたあとに、不等号の向きを逆にするのを忘れることです。

もう1つのミスは、答えを範囲ではなく1つの値として扱ってしまうことです。たとえば、$x \ge 2$ は $x = 2$ だけでなく、無数の値が当てはまります。

3つ目のミスは、その符号がわからないまま文字を含む式で割ってしまうことです。その式の符号が不明なら、不等号の向きは条件によって変わる可能性があります。

不等式の解法が使われる場面

不等式は、問題が正確な等しさではなく、上限や下限をもつときに現れます。よくある例としては、点数の基準、予算の制約、安全な範囲、定義域の制限、最適化の問題などがあります。

また、不等式は代数全体でよく使われます。特に、区間のグラフ、連立不等式、現実の状況で成り立つ解の表現などで重要です。

似た不等式に挑戦してみよう

$5x - 7 \le 18$ を解いてみましょう。次に $-3x + 4 \ge 1$ も解いて、最後の手順を比べてみてください。さらに進みたいなら、負の係数をもつ自分の問題を作って、不等号の向きを正しいタイミングで逆にできたか確認してみましょう。