Résoudre des inégalités

Résoudre une inégalité consiste à trouver toutes les valeurs qui rendent une comparaison vraie. Si vous savez résoudre une équation simple, vous connaissez déjà l’essentiel de la méthode. La règle supplémentaire la plus importante est la suivante : si vous multipliez ou divisez les deux membres par un nombre négatif, il faut inverser le signe d’inégalité.

Par exemple, $2x - 5 \le 9$ demande toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles le membre de gauche reste inférieur ou égal à $9$. La réponse est généralement un intervalle de valeurs, et non un seul nombre précis.

Ce que signifie résoudre une inégalité

Une équation demande la ou les valeurs exactes qui rendent deux membres égaux. Une inégalité demande toutes les valeurs qui rendent un membre plus grand, plus petit, au moins aussi grand ou au plus aussi grand que l’autre.

Par exemple, $x < 4$ signifie que tous les nombres inférieurs à $4$ conviennent. Cela inclut $3$, $0$ et $-10$, mais pas $4$ lui-même. C’est pour cela que les réponses aux inégalités décrivent un ensemble de nombres.

Règles pour résoudre des inégalités

Ces étapes permettent de conserver une inégalité équivalente :

• Ajouter le même nombre aux deux membres.
• Soustraire le même nombre aux deux membres.
• Multiplier les deux membres par le même nombre positif.
• Diviser les deux membres par le même nombre positif.

Si vous multipliez ou divisez les deux membres par un nombre négatif, inversez le signe :

$$3 < 5$$

Multipliez les deux membres par $-1$ :

$$-3 > -5$$

L’affirmation reste vraie, mais seulement parce que le sens est passé de $<$ à $>$.

Exemple détaillé : résoudre $-2x + 3 > 11$

Commencez comme pour une équation : isolez $x$.

Soustrayez $3$ des deux membres :

$$-2x > 8$$

Divisez maintenant les deux membres par $-2$. Comme vous divisez par un nombre négatif, inversez le signe d’inégalité :

$$x < -4$$

C’est l’ensemble complet des solutions. Cela signifie que tout nombre inférieur à $-4$ rend l’inégalité de départ vraie.

Pourquoi le signe d’inégalité s’inverse

Les nombres négatifs inversent l’ordre sur la droite des nombres. Si $a < b$, alors $-a > -b$.

C’est pourquoi, en divisant $-2x > 8$ par $-2$, on obtient $x < -4$ et non $x > -4$. Vous ne cassez pas les règles. Vous conservez une comparaison vraie après avoir modifié les deux membres par un facteur négatif.

Vérifier la réponse avec une valeur

Testez une valeur qui convient à la réponse, par exemple $x = -5$ :

$$-2(-5) + 3 = 13$$

Comme $13 > 11$, l’inégalité de départ est vraie.

Testez maintenant une valeur en dehors de la réponse, par exemple $x = 0$ :

$$-2(0) + 3 = 3$$

Comme $3 > 11$ est faux, cela confirme bien la solution $x < -4$.

Erreurs fréquentes quand on résout des inégalités

L’erreur la plus fréquente consiste à oublier d’inverser le signe après avoir multiplié ou divisé par un nombre négatif.

Une autre erreur consiste à traiter la réponse comme une valeur unique au lieu d’un intervalle. Par exemple, $x \ge 2$ signifie qu’une infinité de valeurs conviennent, pas seulement $x = 2$.

Une troisième erreur consiste à diviser par une expression contenant une variable sans connaître son signe. Si le signe de cette expression est inconnu, le sens de l’inégalité peut dépendre d’une condition.

Où l’on utilise la résolution d’inégalités

Les inégalités apparaissent dès qu’un problème impose des limites plutôt qu’une égalité exacte. On les retrouve souvent dans les seuils de notes, les contraintes budgétaires, les plages de sécurité, les restrictions de domaine et les problèmes d’optimisation.

Elles apparaissent aussi partout en algèbre, notamment pour représenter des intervalles, résoudre des inégalités composées et décrire des solutions possibles dans des situations concrètes.

Essayez une inégalité similaire

Essayez de résoudre $5x - 7 \le 18$. Puis résolvez $-3x + 4 \ge 1$ et comparez la dernière étape. Si vous voulez aller plus loin, créez votre propre exemple avec un coefficient négatif et vérifiez si vous avez inversé le signe au bon moment.