Ungleichungen lösen

Ungleichungen lösen bedeutet, alle Werte zu finden, die einen Vergleich wahr machen. Wenn du eine einfache Gleichung lösen kannst, kennst du den größten Teil des Verfahrens bereits. Die wichtigste Zusatzregel ist: Wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, kehrst du das Ungleichheitszeichen um.

Zum Beispiel fragt $2x - 5 \le 9$ nach allen Werten von $x$, für die die linke Seite kleiner oder gleich $9$ bleibt. Die Antwort ist meist ein Wertebereich und nicht eine einzelne exakte Zahl.

Was das Lösen einer Ungleichung bedeutet

Eine Gleichung fragt nach exakten Wert(en), die zwei Seiten gleich machen. Eine Ungleichung fragt nach allen Werten, die eine Seite größer, kleiner, mindestens so groß oder höchstens so groß wie die andere machen.

Zum Beispiel bedeutet $x < 4$, dass jede Zahl kleiner als $4$ funktioniert. Dazu gehören $3$, $0$ und $-10$, aber nicht $4$ selbst. Deshalb beschreiben Lösungen von Ungleichungen eine Zahlenmenge.

Regeln zum Lösen von Ungleichungen

Diese Schritte erhalten die Gleichwertigkeit einer Ungleichung:

• Addiere dieselbe Zahl auf beiden Seiten.
• Subtrahiere dieselbe Zahl auf beiden Seiten.
• Multipliziere beide Seiten mit derselben positiven Zahl.
• Dividiere beide Seiten durch dieselbe positive Zahl.

Wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, kehrst du das Zeichen um:

$$3 < 5$$

Multipliziere beide Seiten mit $-1$:

$$-3 > -5$$

Die Aussage ist immer noch wahr, aber nur weil sich die Richtung von $<$ zu $>$ geändert hat.

Durchgerechnetes Beispiel: Löse $-2x + 3 > 11$

Beginne genauso, wie du eine Gleichung lösen würdest: Isoliere $x$.

Subtrahiere $3$ auf beiden Seiten:

$$-2x > 8$$

Teile jetzt beide Seiten durch $-2$. Weil du durch eine negative Zahl teilst, kehrst du das Ungleichheitszeichen um:

$$x < -4$$

Das ist die gesamte Lösungsmenge. Sie bedeutet, dass jede Zahl kleiner als $-4$ die ursprüngliche Ungleichung wahr macht.

Warum sich das Ungleichheitszeichen umkehrt

Negative Zahlen kehren die Ordnung auf der Zahlengeraden um. Wenn $a < b$, dann gilt $-a > -b$.

Deshalb wird beim Dividieren von $-2x > 8$ durch $-2$ aus der Antwort $x < -4$ und nicht $x > -4$. Du brichst keine Regeln. Du erhältst einen wahren Vergleich, nachdem beide Seiten mit einem negativen Faktor verändert wurden.

Prüfe die Antwort mit einem Wert

Teste einen Wert, der zur Antwort passt, zum Beispiel $x = -5$:

$$-2(-5) + 3 = 13$$

Da $13 > 11$ wahr ist, ist die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

Teste jetzt einen Wert außerhalb der Antwort, zum Beispiel $x = 0$:

$$-2(0) + 3 = 3$$

Da $3 > 11$ falsch ist, passt das zur Lösung $x < -4$.

Häufige Fehler beim Lösen von Ungleichungen

Der häufigste Fehler ist, das Zeichen nach dem Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl nicht umzukehren.

Ein weiterer Fehler ist, die Antwort wie einen einzelnen Wert statt wie einen Bereich zu behandeln. Zum Beispiel bedeutet $x \ge 2$, dass unendlich viele Werte funktionieren und nicht nur $x = 2$.

Ein dritter Fehler ist, durch einen Variablenausdruck zu dividieren, ohne sein Vorzeichen zu kennen. Wenn das Vorzeichen dieses Ausdrucks unbekannt ist, kann die Richtung der Ungleichung von einer Bedingung abhängen.

Wo das Lösen von Ungleichungen verwendet wird

Ungleichungen tauchen immer dann auf, wenn ein Problem Grenzen statt exakter Gleichheit hat. Häufige Beispiele sind Punkteschwellen, Budgetgrenzen, Sicherheitsbereiche, Definitionsmengenbeschränkungen und Optimierungsprobleme.

Sie kommen auch im gesamten Bereich der Algebra vor, besonders beim Darstellen von Intervallen, beim Lösen zusammengesetzter Ungleichungen und beim Beschreiben zulässiger Lösungen in realen Situationen.

Versuche eine ähnliche Ungleichung

Versuche, $5x - 7 \le 18$ zu lösen. Löse dann $-3x + 4 \ge 1$ und vergleiche den letzten Schritt. Wenn du weitergehen möchtest, probiere eine eigene Version mit einem negativen Koeffizienten aus und prüfe, ob du das Zeichen im richtigen Moment umgekehrt hast.