กฎของไซน์ — สูตรและโจทย์ตัวอย่าง

กฎของไซน์ช่วยให้คุณแก้โจทย์สามเหลี่ยมได้เมื่อรู้ความยาวด้านหนึ่งและมุมตรงข้ามของด้านนั้น ในสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน $a$, $b$, $c$ อยู่ตรงข้ามกับมุม $A$, $B$, $C$

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

กฎสำคัญคือการจับคู่ด้านกับมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน ด้าน $a$ จับคู่กับมุม $A$, ด้าน $b$ จับคู่กับมุม $B$, และด้าน $c$ จับคู่กับมุม $C$ ถ้าจับคู่ผิด การตั้งสมการก็จะผิด แม้ว่าการคำนวณพีชคณิตจะถูกต้องก็ตาม

กฎของไซน์หมายความว่าอย่างไร

สูตรนี้บอกว่าคู่ของด้านกับมุมตรงข้ามทุกคู่มีอัตราส่วนเท่ากัน นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมมุมที่ใหญ่กว่าจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวกว่า และมุมที่เล็กกว่าจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่สั้นกว่า

แนวคิดนี้เป็นวิธีเช็กความสมเหตุสมผลที่เร็วที่สุด ถ้ามุมหนึ่งกางกว้างกว่า ด้านที่อยู่ตรงข้ามก็ควรยาวกว่า ถ้าคำตอบของคุณขัดกับรูปแบบนี้ มีโอกาสสูงว่าคุณจับคู่ด้านกับมุมผิด

ใช้กฎของไซน์เมื่อไร

กฎของไซน์ใช้ได้กับสามเหลี่ยมทุกชนิด แต่จะมีประโยชน์มากที่สุดกับสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก เมื่อคุณรู้คู่ด้าน-มุมตรงข้ามอย่างน้อยหนึ่งคู่แล้ว

รูปแบบที่พบบ่อยที่สุดคือ:

• AAS หรือ ASA: รู้สองมุมและหนึ่งด้าน
• SSA: รู้สองด้านและมุมที่ไม่夹อยู่ระหว่างสองด้าน โดยมุมที่รู้อยู่ตรงข้ามกับด้านที่รู้ด้านหนึ่ง

ถ้าคุณรู้สองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างสองด้าน ให้เริ่มด้วยกฎของโคไซน์ ไม่ใช่กฎของไซน์

ตัวอย่างสูตรกฎของไซน์

สมมติว่า $A = 42^\circ$, $B = 71^\circ$, และ $a = 8$ จงหาด้าน $b$

เริ่มจากจับคู่ด้านกับมุมตรงข้ามให้ถูกต้อง:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$$

แทนค่าที่ทราบลงไป:

$$\frac{8}{\sin(42^\circ)} = \frac{b}{\sin(71^\circ)}$$

จากนั้นแก้สมการหา $b$:

$$b = 8 \cdot \frac{\sin(71^\circ)}{\sin(42^\circ)}$$

เมื่อใช้ค่าประมาณทศนิยม

$$b \approx 8 \cdot \frac{0.9455}{0.6691} \approx 11.30$$

ดังนั้น

$$b \approx 11.3$$

คำตอบนี้สมเหตุสมผล เพราะ $B$ มีขนาดใหญ่กว่า $A$ ด้าน $b$ จึงควรยาวกว่าด้าน $a$ และ $11.3 > 8$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับกฎของไซน์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือจับคู่ด้านกับมุมผิด กฎของไซน์ใช้คู่ที่อยู่ตรงข้ามกัน ไม่ใช่คู่ที่อยู่ติดกัน

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือเลือกใช้เร็วเกินไป ถ้ายังไม่รู้คู่ด้าน-มุมตรงข้ามเลย โดยทั่วไปกฎของไซน์มักไม่ใช่สมการแรกที่ดีที่สุด

นักเรียนจำนวนมากยังพลาดกรณีกำกวมของ SSA ถ้าคุณได้ $\sin(B) = k$ โดยที่ $0 < k < 1$ อาจมีมุมที่เป็นไปได้สองค่า คือ $B$ และ $180^\circ - B$

แต่นั่นไม่ได้แปลว่าจะมีสามเหลี่ยมได้สองรูปเสมอไป คุณต้องตรวจสอบว่าการเลือกมุมแต่ละค่า ทำให้ผลรวมของมุมทั้งหมดยังน้อยกว่า $180^\circ$ และยังสอดคล้องกับข้อมูลด้านที่กำหนดมา

กฎของไซน์สองรูปแบบที่เท่ากัน

คุณอาจเห็นกฎของไซน์เขียนได้ในสองรูปแบบนี้:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \quad \text{or} \quad \frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b}$$

ทั้งสองแบบมีความหมายเหมือนกัน เลือกรูปแบบที่แยกตัวไม่ทราบค่าได้ง่ายที่สุด แต่ต้องคงกฎการจับคู่ด้านกับมุมตรงข้ามไว้เหมือนเดิม

กฎของไซน์ใช้ในเรื่องใดบ้าง

กฎของไซน์พบได้ในตรีโกณมิติ เรขาคณิต การสำรวจ การเดินเรือ และปัญหาการวัดสามเหลี่ยมทุกแบบที่ไม่ได้กำหนดมุมฉากมาให้

ในทางปฏิบัติ ขั้นตอนทำงานนั้นง่ายมาก: วาดรูปสามเหลี่ยม กำกับคู่ด้าน-มุมตรงข้าม ตรวจสอบว่าข้อมูลที่รู้เข้ากับกรณี ASA, AAS หรือ SSA แล้วจึงแก้โจทย์

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำโจทย์ของคุณเองโดยให้ $A = 35^\circ$, $C = 95^\circ$, และ $a = 12$ ก่อนอื่นหามุม $B$ แล้วใช้กฎของไซน์หาด้าน $c$ ก่อนคำนวณ ลองทำนายก่อนว่า $c$ ควรยาวกว่าหรือสั้นกว่า $a$ การคาดเดาแบบเร็ว ๆ นี้เป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดในการจับความผิดพลาดของการตั้งสมการได้ตั้งแต่เนิ่น ๆ