Sin, Cos, Tan — explication simple

Le sinus, le cosinus et la tangente comparent des longueurs de côtés par rapport à un angle choisi dans un triangle rectangle. Si vous comprenez quel côté est opposé, adjacent et l’hypoténuse, ces trois rapports trigonométriques deviennent beaucoup plus faciles à utiliser.

Si $\theta$ est un angle aigu dans un triangle rectangle, alors

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

C’est l’idée derrière SOHCAHTOA. Ce moyen mnémotechnique aide, mais l’idée principale est plus simple : chaque fonction trigonométrique est un rapport associé à un angle, pas une propriété d’un côté pris isolément.

Ce que signifient Sin, Cos et Tan dans un triangle rectangle

Choisissez un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle.

• Le côté opposé est en face de $\theta$.
• Le côté adjacent est à côté de $\theta$, mais ce n’est pas l’hypoténuse.
• L’hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l’angle droit.

Une fois ces étiquettes fixées, les rapports trigonométriques donnent différentes comparaisons.

• $\sin \theta$ compare le côté opposé à l’hypoténuse.
• $\cos \theta$ compare le côté adjacent à l’hypoténuse.
• $\tan \theta$ compare le côté opposé au côté adjacent.

Si vous passez à l’autre angle aigu, les côtés opposé et adjacent s’échangent aussi. C’est pourquoi un même triangle donne des valeurs différentes de sinus, cosinus et tangente pour ses deux angles aigus.

Encore un fait utile : pour un angle fixé, ces rapports restent les mêmes même si le triangle est agrandi ou réduit. Des triangles semblables conservent les mêmes rapports liés aux angles.

Exemple détaillé avec un triangle 3-4-5

Supposons qu’un triangle rectangle ait pour longueurs de côtés $3$, $4$ et $5$. Soit $\theta$ l’angle aigu opposé au côté de longueur $3$.

Alors :

• opposé $= 3$
• adjacent $= 4$
• hypoténuse $= 5$

Donc

$$\sin \theta = \frac{3}{5}, \quad \cos \theta = \frac{4}{5}, \quad \tan \theta = \frac{3}{4}$$

Cet exemple montre clairement le schéma. Le sinus et le cosinus utilisent tous deux l’hypoténuse. La tangente, non : elle compare les deux autres côtés, donc elle est souvent utile quand on veut mesurer la pente.

Quand utiliser le sinus, le cosinus ou la tangente

Utilisez ces rapports lorsqu’un problème relie un angle à des longueurs de côtés dans un triangle rectangle.

• Utilisez $\sin \theta$ lorsque les côtés qui vous intéressent sont l’opposé et l’hypoténuse.
• Utilisez $\cos \theta$ lorsque les côtés qui vous intéressent sont l’adjacent et l’hypoténuse.
• Utilisez $\tan \theta$ lorsque les côtés qui vous intéressent sont l’opposé et l’adjacent.

Si vous connaissez un côté et un angle aigu, la trigonométrie permet souvent de trouver un autre côté. Si vous connaissez des rapports de côtés, les fonctions trigonométriques réciproques peuvent aider à retrouver l’angle.

Comment le cercle trigonométrique prolonge la même idée

Les définitions dans le triangle rectangle ci-dessus s’appliquent directement aux angles aigus d’un triangle rectangle. Pour des angles supérieurs à $90^\circ$, des angles négatifs ou des tours complets, la trigonométrie prolonge les mêmes fonctions à l’aide du cercle trigonométrique.

Sur le cercle trigonométrique, le point associé à l’angle $\theta$ est

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

et la tangente reste le rapport

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

lorsque $\cos \theta \ne 0$.

Ainsi, sur le cercle trigonométrique, le cosinus est la coordonnée en $x$ et le sinus est la coordonnée en $y$. C’est pour cela que les mêmes noms de fonctions trigonométriques restent valables même lorsqu’aucun triangle rectangle n’est dessiné.

Erreurs fréquentes avec Sin, Cos et Tan

Une erreur fréquente consiste à confondre opposé et adjacent. Ces étiquettes n’ont de sens qu’après avoir d’abord choisi l’angle.

Une autre erreur fréquente consiste à croire que SOHCAHTOA couvre tous les problèmes de trigonométrie. Il couvre la définition dans le triangle rectangle. Si le problème utilise des angles généraux, le cercle trigonométrique est généralement le meilleur modèle.

Les élèves oublient aussi parfois que la tangente est un rapport, pas une longueur de côté. Dans un triangle, elle compare la montée au déplacement horizontal.

Une autre erreur consiste à supposer que la tangente existe toujours. Dans la vision du cercle trigonométrique, $\tan \theta$ n’est pas définie lorsque $\cos \theta = 0$.

Où apparaissent le sinus, le cosinus et la tangente

On les rencontre particulièrement dans :

• les problèmes de triangle rectangle
• les pentes et les directions
• le mouvement circulaire et les ondes
• la géométrie analytique et le cercle trigonométrique

Si le problème porte sur un triangle rectangle, commencez par la vision en rapports de côtés. S’il porte sur des angles autour d’un cercle, commencez par la vision du cercle trigonométrique.

Essayez un problème similaire

Prenez le même triangle $3$-$4$-$5$ et passez à l’autre angle aigu. Réattribuez les rôles d’opposé et d’adjacent, puis recalculez $\sin \theta$, $\cos \theta$ et $\tan \theta$. Cette vérification rapide montre pourquoi les rapports trigonométriques dépendent de l’angle choisi.