Sin, Cos, Tan — einfach erklärt

Sinus, Kosinus und Tangens vergleichen Seitenlängen in Bezug auf einen gewählten Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. Wenn du verstehst, welche Seite Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse ist, lassen sich die drei Verhältnisse viel leichter anwenden.

Wenn $\theta$ ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist, dann gilt

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

Das ist die Idee hinter SOHCAHTOA. Die Eselsbrücke hilft, aber der wichtigste Punkt ist einfacher: Jede trigonometrische Funktion ist ein Verhältnis zu einem bestimmten Winkel und keine Eigenschaft einer Seite für sich allein.

Was Sin, Cos und Tan in einem rechtwinkligen Dreieck bedeuten

Wähle einen spitzen Winkel $\theta$ in einem rechtwinkligen Dreieck.

• Die Gegenkathete liegt $\theta$ gegenüber.
• Die Ankathete liegt an $\theta$ an, ist aber nicht die Hypotenuse.
• Die Hypotenuse ist die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Sobald diese Bezeichnungen feststehen, geben die trigonometrischen Verhältnisse verschiedene Vergleiche an.

• $\sin \theta$ vergleicht Gegenkathete mit Hypotenuse.
• $\cos \theta$ vergleicht Ankathete mit Hypotenuse.
• $\tan \theta$ vergleicht Gegenkathete mit Ankathete.

Wenn du zum anderen spitzen Winkel wechselst, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Deshalb liefert dasselbe Dreieck für seine beiden spitzen Winkel unterschiedliche Werte für Sinus, Kosinus und Tangens.

Noch eine nützliche Tatsache: Für einen festen Winkel bleiben diese Verhältnisse gleich, auch wenn das Dreieck vergrößert oder verkleinert wird. Ähnliche Dreiecke haben dieselben Winkelverhältnisse.

Beispiel mit einem 3-4-5-Dreieck

Angenommen, ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seitenlängen $3$, $4$ und $5$. Sei $\theta$ der spitze Winkel gegenüber der Seite mit der Länge $3$.

Dann gilt:

• Gegenkathete $= 3$
• Ankathete $= 4$
• Hypotenuse $= 5$

Also

$$\sin \theta = \frac{3}{5}, \quad \cos \theta = \frac{4}{5}, \quad \tan \theta = \frac{3}{4}$$

Dieses Beispiel zeigt das Muster deutlich. Sinus und Kosinus verwenden beide die Hypotenuse. Tangens nicht; er vergleicht die beiden Katheten und ist deshalb oft nützlich, wenn man ein Gefühl für die Steilheit bekommen möchte.

Wann man Sinus, Kosinus oder Tangens verwendet

Verwende diese Verhältnisse, wenn eine Aufgabe einen Winkel mit Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck verknüpft.

• Verwende $\sin \theta$, wenn die wichtigen Seiten Gegenkathete und Hypotenuse sind.
• Verwende $\cos \theta$, wenn die wichtigen Seiten Ankathete und Hypotenuse sind.
• Verwende $\tan \theta$, wenn die wichtigen Seiten Gegenkathete und Ankathete sind.

Wenn du eine Seite und einen spitzen Winkel kennst, kannst du mit Trigonometrie oft eine weitere Seite berechnen. Wenn du Seitenverhältnisse kennst, können Umkehrfunktionen der Trigonometrie helfen, den Winkel zu bestimmen.

Wie der Einheitskreis dieselbe Idee erweitert

Die obigen Definitionen im rechtwinkligen Dreieck gelten direkt für spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. Für Winkel größer als $90^\circ$, negative Winkel oder ganze Umdrehungen erweitert die Trigonometrie dieselben Funktionen mithilfe des Einheitskreises.

Auf dem Einheitskreis ist der Punkt zum Winkel $\theta$

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

und Tangens ist weiterhin das Verhältnis

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

wenn $\cos \theta \ne 0$.

Auf dem Einheitskreis ist also der Kosinus die $x$-Koordinate und der Sinus die $y$-Koordinate. Deshalb funktionieren dieselben trigonometrischen Namen auch dann weiter, wenn kein rechtwinkliges Dreieck eingezeichnet ist.

Häufige Fehler bei Sin, Cos und Tan

Ein häufiger Fehler ist, Gegenkathete und Ankathete zu verwechseln. Diese Bezeichnungen ergeben erst Sinn, nachdem du den Winkel festgelegt hast.

Ein weiterer häufiger Fehler ist, SOHCAHTOA so zu behandeln, als würde es jedes Trigonometrieproblem abdecken. Es beschreibt die Definition im rechtwinkligen Dreieck. Wenn die Aufgabe allgemeine Winkel verwendet, ist der Einheitskreis meist das bessere Modell.

Manche Schülerinnen und Schüler vergessen auch, dass Tangens ein Verhältnis und keine Seitenlänge ist. In einem Dreieck vergleicht er Höhenzuwachs mit waagerechter Strecke.

Ein weiterer Fehler ist die Annahme, dass Tangens immer existiert. In der Sichtweise mit dem Einheitskreis ist $\tan \theta$ nicht definiert, wenn $\cos \theta = 0$.

Wo Sinus, Kosinus und Tangens vorkommen

Sie sind besonders häufig in:

• Aufgaben zu rechtwinkligen Dreiecken
• Steigungen und Richtungen
• Kreisbewegungen und Wellen
• Koordinatengeometrie und dem Einheitskreis

Wenn es in der Aufgabe um ein rechtwinkliges Dreieck geht, beginne mit der Sicht auf Seitenverhältnisse. Wenn es um Winkel auf einem Kreis geht, beginne mit der Sicht auf den Einheitskreis.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Nimm dasselbe $3$-$4$-$5$-Dreieck und wechsle zum anderen spitzen Winkel. Beschrifte Gegenkathete und Ankathete neu und berechne dann $\sin \theta$, $\cos \theta$ und $\tan \theta$ erneut. Dieser kurze Check zeigt, warum trigonometrische Verhältnisse vom gewählten Winkel abhängen.