正弦定理 — 公式と解き方の例題

正弦定理は、1つの辺とその向かいの角がわかっているときに三角形を解くのに役立ちます。辺 $a$, $b$, $c$ がそれぞれ角 $A$, $B$, $C$ の向かいにある任意の三角形では、

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

大事なルールは、向かい合う組を正しく対応させることです。辺 $a$ は角 $A$、辺 $b$ は角 $B$、辺 $c$ は角 $C$ と対応します。この組み合わせを取り違えると、計算自体が正しくても式の立て方が間違っています。

正弦定理の意味

この公式は、どの辺とその向かいの角の組でも、同じ比になることを表しています。だからこそ、大きい角の向かいには長い辺があり、小さい角の向かいには短い辺があります。

この考え方は、答えが妥当かをすばやく確かめる最も簡単な方法です。ある角がより大きく開いていれば、その向かいの辺はより長いはずです。もし答えがこの関係に合わないなら、辺と角の対応を間違えた可能性が高いです。

正弦定理を使う場面

正弦定理はどんな三角形にも成り立ちますが、特に直角三角形ではない三角形で、少なくとも1組の向かい合う辺と角がすでにわかっているときに便利です。

よくある設定は次のとおりです。

• AAS または ASA: 2つの角と1つの辺
• SSA: 2つの辺とその間ではない1つの角で、わかっている角が既知の辺の1つの向かいにある場合

一方、2辺とその間の角がわかっているなら、正弦定理ではなく、まず余弦定理を使います。

正弦定理の公式の例

たとえば $A = 42^\circ$, $B = 71^\circ$, $a = 8$ とします。辺 $b$ を求めます。

まず、向かい合う組を対応させます。

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$$

既知の値を代入すると、

$$\frac{8}{\sin(42^\circ)} = \frac{b}{\sin(71^\circ)}$$

次に $b$ について解きます。

$$b = 8 \cdot \frac{\sin(71^\circ)}{\sin(42^\circ)}$$

小数近似を使うと、

$$b \approx 8 \cdot \frac{0.9455}{0.6691} \approx 11.30$$

したがって、

$$b \approx 11.3$$

これは自然な結果です。$B$ は $A$ より大きいので、辺 $b$ は辺 $a$ より長いはずで、実際に $11.3 > 8$ です。

正弦定理でよくある間違い

最も多い間違いは、辺と角を誤って対応させることです。正弦定理で使うのは隣り合う組ではなく、向かい合う組です。

もう1つの間違いは、早い段階で正弦定理を選んでしまうことです。向かい合う辺と角の組が1つもわかっていないなら、たいてい最初に使う式としては適していません。

また、SSA のあいまいな場合を見落とすこともあります。もし $\sin(B) = k$ で $0 < k < 1$ となったら、角 $B$ には $B$ と $180^\circ - B$ の2通りの可能性があります。

ただし、それが必ず2つの三角形を意味するわけではありません。それぞれの角の候補について、角の和が $180^\circ$ 未満に収まるか、また与えられた辺の条件と矛盾しないかを確認する必要があります。

正弦定理の2つの同値な形

正弦定理は、次のどちらの形で書かれることもあります。

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \quad \text{or} \quad \frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b}$$

意味は同じです。未知数をよりすっきり求められる形を選べばよいですが、向かい合う組を対応させるルールは同じです。

正弦定理が使われる場面

正弦定理は、三角比、幾何、測量、航法、そして直角が与えられていない三角形の測定問題で使われます。

実際の流れはシンプルです。三角形を描き、向かい合う組を書き込み、与えられた情報が ASA、AAS、SSA のどれに当てはまるかを確認してから解きます。

似た問題に挑戦してみよう

自分でも、$A = 35^\circ$, $C = 95^\circ$, $a = 12$ として試してみましょう。まず角 $B$ を求め、そのあと正弦定理を使って辺 $c$ を求めます。計算する前に、$c$ が $a$ より長いか短いかを予想してみてください。このひと手間の予想は、式の立て方のミスに早く気づくための最も簡単な方法の1つです。