사인 법칙 공식과 풀이 예제

사인 법칙은 한 변과 그 맞은편 각을 알고 있을 때 삼각형을 푸는 데 도움이 됩니다. 변 $a$, $b$, $c$가 각각 각 $A$, $B$, $C$의 맞은편에 있는 임의의 삼각형에서,

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

가 성립합니다.

가장 중요한 규칙은 맞은편 쌍을 정확히 대응시키는 것입니다. 변 $a$는 각 $A$와, 변 $b$는 각 $B$와, 변 $c$는 각 $C$와 짝을 이룹니다. 이 대응을 헷갈리면 계산 과정이 맞아 보여도 식 설정 자체가 틀립니다.

사인 법칙의 의미

이 공식은 각 변과 그 맞은편 각의 사인값의 비가 모두 같다는 뜻입니다. 그래서 더 큰 각의 맞은편에는 더 긴 변이 있고, 더 작은 각의 맞은편에는 더 짧은 변이 있습니다.

이 생각은 가장 빠르게 답을 점검하는 방법이기도 합니다. 어떤 각이 더 크게 벌어져 있다면 그 맞은편 변도 더 길어야 합니다. 답이 이 패턴과 맞지 않으면 변과 각을 잘못 짝지었을 가능성이 큽니다.

사인 법칙을 사용하는 경우

사인 법칙은 모든 삼각형에 대해 성립하지만, 특히 직각삼각형이 아닌 삼각형에서 적어도 하나의 맞은편 변-각 쌍을 이미 알고 있을 때 가장 유용합니다.

가장 흔한 경우는 다음과 같습니다.

• AAS 또는 ASA: 두 각과 한 변을 아는 경우
• SSA: 두 변과 끼인각이 아닌 한 각을 아는 경우이며, 주어진 각은 주어진 변 중 하나의 맞은편 각이어야 함

반대로 두 변과 그 사이의 끼인각을 알고 있다면, 사인 법칙보다 코사인 법칙부터 사용하는 것이 좋습니다.

사인 법칙 공식 예제

예를 들어 $A = 42^\circ$, $B = 71^\circ$, $a = 8$이라고 하겠습니다. 변 $b$를 구해 봅시다.

먼저 맞은편 쌍을 맞춰 식을 세웁니다.

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$$

알고 있는 값을 대입하면,

$$\frac{8}{\sin(42^\circ)} = \frac{b}{\sin(71^\circ)}$$

이제 $b$에 대해 풀면,

$$b = 8 \cdot \frac{\sin(71^\circ)}{\sin(42^\circ)}$$

소수값으로 계산하면,

$$b \approx 8 \cdot \frac{0.9455}{0.6691} \approx 11.30$$

따라서

$$b \approx 11.3$$

이 결과는 타당합니다. $B$가 $A$보다 크므로 변 $b$는 변 $a$보다 길어야 하고, 실제로 $11.3 > 8$입니다.

사인 법칙에서 자주 하는 실수

가장 흔한 실수는 변을 잘못된 각과 짝짓는 것입니다. 사인 법칙에서는 이웃한 쌍이 아니라 맞은편 쌍을 사용해야 합니다.

또 다른 실수는 너무 일찍 사인 법칙을 선택하는 것입니다. 맞은편 변-각 쌍이 하나도 주어지지 않았다면, 보통 첫 번째 식으로는 적절하지 않습니다.

학생들이 SSA의 애매한 경우를 놓치는 일도 많습니다. 만약 $\sin(B) = k$이고 $0 < k < 1$이라면, 가능한 각이 $B$와 $180^\circ - B$의 두 가지일 수 있습니다.

하지만 그렇다고 항상 두 개의 삼각형이 존재하는 것은 아닙니다. 각 경우마다 전체 각의 합이 $180^\circ$보다 작은지, 그리고 주어진 변의 정보와 모순되지 않는지를 확인해야 합니다.

서로 같은 두 가지 사인 법칙 형태

사인 법칙은 다음 두 형태 중 어느 것으로도 쓸 수 있습니다.

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \quad \text{or} \quad \frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b}$$

두 식은 같은 의미입니다. 미지수를 더 깔끔하게 정리할 수 있는 형태를 선택하면 되지만, 맞은편 쌍을 대응시키는 규칙은 그대로 유지해야 합니다.

사인 법칙이 사용되는 곳

사인 법칙은 삼각법, 기하학, 측량, 항법, 그리고 직각이 주어지지 않은 삼각형의 측정 문제 전반에서 등장합니다.

실제로는 풀이 흐름이 단순합니다. 삼각형을 그리고, 맞은편 쌍을 표시하고, 주어진 정보가 ASA, AAS, SSA 중 어디에 해당하는지 확인한 뒤 계산하면 됩니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

이번에는 $A = 35^\circ$, $C = 95^\circ$, $a = 12$인 경우를 직접 풀어 보세요. 먼저 각 $B$를 구한 다음, 사인 법칙을 이용해 변 $c$를 구해 보세요. 계산하기 전에 $c$가 $a$보다 길지 짧을지 먼저 예상해 보세요. 이런 빠른 예측은 식을 잘못 세운 실수를 초기에 잡아내는 가장 쉬운 방법 중 하나입니다.