Loi des sinus — formule et exercices corrigés

La loi des sinus permet de résoudre un triangle lorsque vous connaissez un côté et l’angle opposé. Dans tout triangle dont les côtés $a$, $b$, $c$ sont opposés aux angles $A$, $B$, $C$,

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

La règle essentielle consiste à associer les éléments opposés. Le côté $a$ va avec l’angle $A$, le côté $b$ avec l’angle $B$, et le côté $c$ avec l’angle $C$. Si vous mélangez ces paires, la mise en équation est fausse même si les calculs algébriques sont corrects.

Ce que signifie la loi des sinus

La formule dit que chaque paire côté-angle opposé suit le même rapport. C’est pourquoi un angle plus grand est opposé à un côté plus long, tandis qu’un angle plus petit est opposé à un côté plus court.

C’est aussi la vérification intuitive la plus rapide. Si un angle s’ouvre davantage, le côté en face doit être plus long. Si votre réponse ne respecte pas cette idée, vous avez probablement associé le mauvais côté au mauvais angle.

Quand utiliser la loi des sinus

La loi des sinus fonctionne pour tout triangle, mais elle est surtout utile pour les triangles non rectangles lorsque vous connaissez déjà au moins une paire côté-angle opposé.

Les configurations les plus courantes sont :

• AAS ou ASA : deux angles et un côté
• SSA : deux côtés et un angle non compris, lorsque l’angle connu est opposé à l’un des côtés connus

Si vous connaissez plutôt deux côtés et l’angle compris, commencez par la loi des cosinus, pas par la loi des sinus.

Exemple avec la formule de la loi des sinus

Supposons que $A = 42^\circ$, $B = 71^\circ$, et $a = 8$. Trouvez le côté $b$.

Commencez par associer les paires opposées :

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$$

Remplacez par les valeurs connues :

$$\frac{8}{\sin(42^\circ)} = \frac{b}{\sin(71^\circ)}$$

Résolvez maintenant pour $b$ :

$$b = 8 \cdot \frac{\sin(71^\circ)}{\sin(42^\circ)}$$

En utilisant des approximations décimales,

$$b \approx 8 \cdot \frac{0.9455}{0.6691} \approx 11.30$$

Donc

$$b \approx 11.3$$

Cela a du sens. Comme $B$ est plus grand que $A$, le côté $b$ doit être plus long que le côté $a$, et $11.3 > 8$.

Erreurs fréquentes avec la loi des sinus

L’erreur la plus fréquente consiste à associer un côté au mauvais angle. La loi des sinus utilise des paires opposées, pas des éléments adjacents.

Une autre erreur est de l’utiliser trop tôt. Si aucune paire côté-angle opposé n’est connue, ce n’est généralement pas la meilleure première équation.

Les élèves oublient aussi le cas ambigu SSA. Si vous obtenez $\sin(B) = k$ avec $0 < k < 1$, il peut y avoir deux angles possibles : $B$ et $180^\circ - B$.

Cela ne signifie pas toujours qu’il existe deux triangles. Vous devez vérifier si chaque choix d’angle permet de garder une somme des angles inférieure à $180^\circ$ et reste cohérent avec les données du problème.

Deux formes équivalentes de la loi des sinus

Vous pouvez voir la loi des sinus écrite sous l’une ou l’autre de ces formes :

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \quad \text{or} \quad \frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b}$$

Elles signifient la même chose. Choisissez la version qui isole le plus simplement l’inconnue, mais gardez toujours la même règle d’association des paires opposées.

Où la loi des sinus est utilisée

La loi des sinus apparaît en trigonométrie, en géométrie, en topographie, en navigation et dans tout problème de mesure de triangle où aucun angle droit n’est donné.

En pratique, la méthode est simple : dessinez le triangle, repérez les paires opposées, vérifiez si les données connues correspondent à ASA, AAS ou SSA, puis résolvez.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec $A = 35^\circ$, $C = 95^\circ$, et $a = 12$. Commencez par trouver l’angle $B$, puis utilisez la loi des sinus pour trouver le côté $c$. Avant de calculer, prévoyez si $c$ doit être plus long ou plus court que $a$. Cette petite anticipation est l’un des moyens les plus simples de repérer tôt une erreur de mise en équation.