Sinussatz — Formel & gelöste Aufgaben

Der Sinussatz hilft dir beim Lösen eines Dreiecks, wenn du eine Seite und den gegenüberliegenden Winkel kennst. In jedem Dreieck mit den Seiten $a$, $b$, $c$ gegenüber den Winkeln $A$, $B$, $C$ gilt:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

Die wichtigste Regel ist das Zuordnen gegenüberliegender Paare. Die Seite $a$ gehört zum Winkel $A$, die Seite $b$ zum Winkel $B$ und die Seite $c$ zum Winkel $C$. Wenn du diese Paare verwechselst, ist der Ansatz falsch, auch wenn die Algebra korrekt ist.

Was der Sinussatz bedeutet

Die Formel sagt, dass jedes Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel demselben Verhältnis folgt. Deshalb liegt einem größeren Winkel eine längere Seite gegenüber, während einem kleineren Winkel eine kürzere Seite gegenüberliegt.

Diese Idee ist die schnellste Plausibilitätsprüfung. Wenn sich ein Winkel weiter öffnet, sollte die gegenüberliegende Seite länger sein. Wenn dein Ergebnis dieses Muster verletzt, hast du wahrscheinlich Seite und Winkel falsch zugeordnet.

Wann man den Sinussatz verwendet

Der Sinussatz gilt für jedes Dreieck, ist aber besonders nützlich bei nicht rechtwinkligen Dreiecken, wenn du bereits mindestens ein Paar aus gegenüberliegender Seite und Winkel kennst.

Die häufigsten Fälle sind:

• AAS oder ASA: zwei Winkel und eine Seite
• SSA: zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel, wobei der bekannte Winkel einer der bekannten Seiten gegenüberliegt

Wenn du stattdessen zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst, solltest du mit dem Kosinussatz beginnen, nicht mit dem Sinussatz.

Beispiel zur Sinussatz-Formel

Angenommen, $A = 42^\circ$, $B = 71^\circ$ und $a = 8$. Gesucht ist die Seite $b$.

Beginne mit den passenden gegenüberliegenden Paaren:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$$

Setze die bekannten Werte ein:

$$\frac{8}{\sin(42^\circ)} = \frac{b}{\sin(71^\circ)}$$

Löse nun nach $b$ auf:

$$b = 8 \cdot \frac{\sin(71^\circ)}{\sin(42^\circ)}$$

Mit Dezimalnäherungen ergibt sich:

$$b \approx 8 \cdot \frac{0.9455}{0.6691} \approx 11.30$$

Also gilt:

$$b \approx 11.3$$

Das ist sinnvoll. Da $B$ größer ist als $A$, sollte die Seite $b$ länger sein als die Seite $a$, und $11.3 > 8$.

Häufige Fehler beim Sinussatz

Der häufigste Fehler ist, eine Seite mit dem falschen Winkel zu koppeln. Der Sinussatz verwendet gegenüberliegende Paare, nicht anliegende.

Ein weiterer Fehler ist, ihn zu früh zu wählen. Wenn kein Paar aus gegenüberliegender Seite und Winkel bekannt ist, ist er meist nicht die beste erste Gleichung.

Schülerinnen und Schüler übersehen auch oft den mehrdeutigen SSA-Fall. Wenn du $\sin(B) = k$ mit $0 < k < 1$ erhältst, kann es zwei mögliche Winkel geben: $B$ und $180^\circ - B$.

Das bedeutet nicht immer, dass zwei Dreiecke existieren. Du musst prüfen, ob bei jeder Winkelwahl die gesamte Winkelsumme unter $180^\circ$ bleibt und die gegebenen Seitenangaben konsistent bleiben.

Zwei äquivalente Formen des Sinussatzes

Du kannst den Sinussatz in einer der folgenden Formen sehen:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \quad \text{or} \quad \frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b}$$

Beide bedeuten dasselbe. Wähle die Version, mit der sich die Unbekannte am einfachsten isolieren lässt, aber halte die Regel der gegenüberliegenden Paare immer gleich ein.

Wo der Sinussatz verwendet wird

Der Sinussatz kommt in der Trigonometrie, Geometrie, Vermessung, Navigation und bei jeder Dreiecksmessung vor, bei der kein rechter Winkel gegeben ist.

In der Praxis ist der Ablauf einfach: Zeichne das Dreieck, beschrifte die gegenüberliegenden Paare, prüfe, ob die gegebenen Informationen zu ASA, AAS oder SSA passen, und löse dann die Aufgabe.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche deine eigene Variante mit $A = 35^\circ$, $C = 95^\circ$ und $a = 12$. Bestimme zuerst den Winkel $B$ und verwende dann den Sinussatz, um die Seite $c$ zu berechnen. Bevor du rechnest, überlege, ob $c$ länger oder kürzer als $a$ sein sollte. Diese schnelle Vorhersage ist eine der einfachsten Möglichkeiten, einen Ansatzfehler früh zu erkennen.