Twierdzenie sinusów — wzór i rozwiązane zadania

Twierdzenie sinusów pomaga rozwiązać trójkąt, gdy znasz jeden bok i kąt leżący naprzeciwko niego. W dowolnym trójkącie o bokach $a$, $b$, $c$ leżących naprzeciw kątów $A$, $B$, $C$ zachodzi:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

Najważniejsza zasada to dopasowywanie par leżących naprzeciw siebie. Bok $a$ odpowiada kątowi $A$, bok $b$ odpowiada kątowi $B$, a bok $c$ odpowiada kątowi $C$. Jeśli pomylisz te pary, zapis będzie błędny, nawet jeśli same przekształcenia algebraiczne są poprawne.

Co oznacza twierdzenie sinusów

Wzór mówi, że każda para: bok i kąt naprzeciwko niego, daje ten sam iloraz. Dlatego większemu kątowi odpowiada dłuższy bok, a mniejszemu kątowi krótszy bok.

To najszybszy sposób na sprawdzenie intuicyjne. Jeśli jeden kąt jest większy, bok leżący naprzeciwko niego powinien być dłuższy. Jeśli wynik łamie tę zależność, prawdopodobnie źle dopasowano bok i kąt.

Kiedy używać twierdzenia sinusów

Twierdzenie sinusów działa dla każdego trójkąta, ale jest najbardziej przydatne w trójkątach nieprostokątnych, gdy znasz już co najmniej jedną parę bok–kąt leżącą naprzeciw siebie.

Najczęstsze układy danych to:

• AAS lub ASA: dwa kąty i jeden bok
• SSA: dwa boki i kąt niezawarty między nimi, przy czym znany kąt leży naprzeciw jednego ze znanych boków

Jeśli zamiast tego znasz dwa boki i kąt między nimi, zacznij od twierdzenia cosinusów, a nie od twierdzenia sinusów.

Przykład zastosowania wzoru twierdzenia sinusów

Załóżmy, że $A = 42^\circ$, $B = 71^\circ$ oraz $a = 8$. Wyznacz bok $b$.

Zacznij od dopasowania par leżących naprzeciw siebie:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$$

Podstaw znane wartości:

$$\frac{8}{\sin(42^\circ)} = \frac{b}{\sin(71^\circ)}$$

Teraz oblicz $b$:

$$b = 8 \cdot \frac{\sin(71^\circ)}{\sin(42^\circ)}$$

Korzystając z przybliżeń dziesiętnych,

$$b \approx 8 \cdot \frac{0.9455}{0.6691} \approx 11.30$$

Zatem

$$b \approx 11.3$$

To ma sens. Ponieważ $B$ jest większy niż $A$, bok $b$ powinien być dłuższy niż bok $a$, a $11.3 > 8$.

Najczęstsze błędy przy twierdzeniu sinusów

Najczęstszy błąd polega na połączeniu boku z niewłaściwym kątem. Twierdzenie sinusów używa par leżących naprzeciw siebie, a nie sąsiednich.

Inny błąd to zbyt wczesne sięgnięcie po ten wzór. Jeśli nie jest znana żadna para bok–kąt leżąca naprzeciw siebie, zwykle nie jest to najlepsze pierwsze równanie.

Uczniowie często pomijają też niejednoznaczny przypadek SSA. Jeśli otrzymasz $\sin(B) = k$ przy $0 < k < 1$, mogą istnieć dwa możliwe kąty: $B$ oraz $180^\circ - B$.

Nie zawsze oznacza to jednak istnienie dwóch trójkątów. Trzeba sprawdzić, czy dla każdego wyboru kąta suma wszystkich kątów pozostaje mniejsza niż $180^\circ$ i czy dane o bokach nadal są spójne.

Dwie równoważne postacie twierdzenia sinusów

Możesz spotkać twierdzenie sinusów zapisane w jednej z tych dwóch postaci:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \quad \text{or} \quad \frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b}$$

Obie znaczą to samo. Wybierz wersję, w której najłatwiej wyznaczyć niewiadomą, ale nadal trzymaj się zasady dopasowywania par leżących naprzeciw siebie.

Gdzie stosuje się twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów pojawia się w trygonometrii, geometrii, geodezji, nawigacji oraz w każdym zadaniu dotyczącym pomiarów w trójkącie, gdy nie jest dany kąt prosty.

W praktyce schemat działania jest prosty: narysuj trójkąt, zaznacz pary leżące naprzeciw siebie, sprawdź, czy dane pasują do ASA, AAS lub SSA, a następnie rozwiąż zadanie.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj samodzielnie z danymi $A = 35^\circ$, $C = 95^\circ$ oraz $a = 12$. Najpierw wyznacz kąt $B$, a potem użyj twierdzenia sinusów, aby obliczyć bok $c$. Zanim zaczniesz liczyć, przewidź, czy $c$ powinien być dłuższy czy krótszy od $a$. Taka szybka prognoza to jeden z najłatwiejszych sposobów, by wcześnie wychwycić błąd w zapisie.