外角 — 外角の定理と外角の和

外角とは、図形の1辺を延長したときに図形の外側にできる角のことです。大事なポイントはシンプルです。三角形では、外角はそれに隣接しない2つの内角の和に等しく、どんな多角形でも各頂点で1つずつ外角を同じ向きで測ると、その和は $360^\circ$ になります。

1つだけ覚えるなら、この近道を覚えておきましょう。内角とそれに隣り合う外角の和は、必ず $180^\circ$ です。

外角とは何か

多角形の1辺を頂点の先まで延長します。その延長した辺と次の辺がつくる角が外角です。

この外角は同じ頂点の内角の隣にあるので、2つを合わせると一直線になります。

$$\text{interior angle} + \text{adjacent exterior angle} = 180^\circ$$

この関係は、内角と外角をすばやく切り替えて求めるときによく使われます。

三角形の外角の定理のしくみ

三角形では、外角はその外角に隣り合わない2つの内角の和に等しくなります。これらを離れた内角といいます。

離れた内角を $a$ と $b$、外角を $e$ とすると、

$$e = a + b$$

となります。

この定理で使うのは、離れた2つの内角だけです。外角の隣にある内角は、この定理には含まれません。

多角形の外角の和が $360^\circ$ になる理由

多角形の各頂点で1つずつ外角を取り、それらを同じ回る向きで測ると、合計は必ず

$$360^\circ$$

になります。

これは三角形、四角形、五角形、さらに辺の多い多角形でも成り立ちます。イメージしやすい考え方は、図形のまわりを歩くことです。外角は向きをどれだけ変えたかを表していて、1周すると出発した向きに戻るので、ちょうど1回転の $360^\circ$ になります。

正多角形では、すべての外角が等しいので、1つの外角は

$$\frac{360^\circ}{n}$$

です。ここで $n$ は辺の数です。

例題：三角形の外角の定理を使う

ある三角形で、離れた2つの内角が $48^\circ$ と $67^\circ$ です。3つ目の頂点の外角を求めましょう。

定理をそのまま使います。

$$e = 48^\circ + 67^\circ = 115^\circ$$

したがって、外角は $115^\circ$ です。

その隣の内角も求めたいなら、一直線の関係を使います。

$$\text{adjacent interior angle} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

この例では、よく使う2つの基本操作がわかります。

1. 離れた2つの内角を足して外角を求める。
2. 問題で隣の内角も必要なら、$180^\circ$ から引く。

正多角形では、手順が少し違います。まず $360^\circ / n$ で1つの外角を求め、そのあと内角が必要なら $180^\circ$ から引きます。

外角でよくある間違い

三角形の定理で違う角を使ってしまう

三角形では、外角は離れた2つの内角の和に等しくなります。隣の内角ではありません。

1つの頂点で複数の外角を足してしまう

$360^\circ$ のルールでは、各頂点で外角を1つだけ使います。余分な角を数えたり、同じ頂点で別の外側の角を混ぜたりすると、合計は定理と一致しません。

向きの条件を無視する

多角形では、各頂点で1つずつ外角を取り、図形のまわりを進むときに同じ向きで測ります。そうすることで、合計がちょうど1回転を表します。

どの多角形でも外角がすべて等しいと思い込む

外角がすべて等しいのは正多角形だけです。不規則な多角形でも外角の和は $360^\circ$ ですが、1つ1つの角の大きさは異なることがあります。

外角を使う場面

外角は、三角形の証明、多角形の角度の問題、正多角形の問題でよく出てきます。図のすべての角を先に解かなくても、未知の角をすばやく求めたいときに特に便利です。

また、外角は「向きを変えること」ともつながっています。だからこそ、多角形の外角の和は変わらず、覚えやすいのです。

似た問題に挑戦

次は正十角形で試してみましょう。まず $360^\circ / 10$ を使って1つの外角を求め、そのあと隣の内角を求めます。

考え方を順番に確認したいなら、解き終わったあとでソルバーの結果と比べてみましょう。外角の和を使うべき場面だったのか、それとも一直線の関係を使うべき場面だったのかを確かめられます。