การประยุกต์ของอนุพันธ์ — ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด และอัตราการเปลี่ยนแปลง

การประยุกต์ของอนุพันธ์มักสรุปได้เป็น 2 แนวคิดหลัก คือ ใช้ $f'(x)$ เพื่อวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน และใช้ $f'(x)$ เพื่อหาว่าปริมาณหนึ่งมีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดที่จุดใด ถ้าโจทย์ถามว่าสิ่งหนึ่งกำลังเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนในขณะนี้ หรือเมื่อใดค่าหนึ่งสูงที่สุดหรือต่ำที่สุด อนุพันธ์มักเป็นเครื่องมือที่คุณต้องใช้

มีเงื่อนไขสำคัญอย่างหนึ่งตั้งแต่ต้น: ถ้าโจทย์ถามหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงปิด คุณต้องเปรียบเทียบทั้งจุดวิกฤตและจุดปลายช่วง การตรวจเฉพาะจุดที่ $f'(x)=0$ อย่างเดียวไม่เพียงพอ

อนุพันธ์ใช้ทำอะไรได้บ้าง

อนุพันธ์ $f'(x)$ บอกว่าค่าผลลัพธ์เปลี่ยนไปอย่างไรเมื่อค่าตัวแปรต้นเปลี่ยน ณ จุดหนึ่งโดยเฉพาะ แนวคิดเดียวนี้ปรากฏในงานแคลคูลัสหลายแบบที่พบบ่อย

• ในเชิงกราฟ มันให้ความชันของเส้นสัมผัส
• ในการเคลื่อนที่ มันอาจให้ความเร็วซึ่งเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง
• ในการหาค่าเหมาะที่สุด มันช่วยหาจุดที่ปริมาณหนึ่งหยุดเพิ่มแล้วเริ่มลด หรือกลับกัน

บริบทอาจต่างกันในเรขาคณิต ฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์ และวิศวกรรม แต่คำถามหลักยังเหมือนเดิม: เมื่อปริมาณหนึ่งเปลี่ยน อีกปริมาณหนึ่งตอบสนองอย่างไร?

อนุพันธ์ช่วยหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดได้อย่างไร

ค่าสูงสุดเฉพาะที่คือจุดที่ฟังก์ชันมีค่าสูงกว่าค่าใกล้เคียง ส่วนค่าต่ำสุดเฉพาะที่คือจุดที่มีค่าต่ำกว่าค่าใกล้เคียง จุดเหล่านี้มักเกิดที่จุดวิกฤต ซึ่งคือจุดที่ $f'(x)=0$ หรือจุดที่ $f'(x)$ ไม่มีอยู่ แต่ $f(x)$ ยังนิยามอยู่

แล้วทำไม $f'(x)=0$ จึงสำคัญ? เพราะที่จุดกลับตัวแบบเรียบ เส้นสัมผัสจะเป็นแนวนอน ดังนั้นความชันจึงเป็น $0$

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกจุดวิกฤตจะเป็นจุดสุดโต่ง ฟังก์ชันอาจแบนราบลงชั่วคราวแล้วเคลื่อนต่อไปในทิศทางเดิมโดยรวม นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมโดยทั่วไปเราต้องตรวจว่า $f'(x)$ เปลี่ยนเครื่องหมายรอบจุดนั้นหรือไม่:

• จากบวกเป็นลบ: ค่าสูงสุดเฉพาะที่
• จากลบเป็นบวก: ค่าต่ำสุดเฉพาะที่

ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองครั้งในบริเวณใกล้จุดนั้น อนุพันธ์อันดับสองก็ช่วยได้เช่นกัน:

• $f''(x) < 0$ บ่งชี้ว่ากราฟเว้าลงที่บริเวณนั้น ดังนั้นจุดนั้นเป็นค่าสูงสุดเฉพาะที่
• $f''(x) > 0$ บ่งชี้ว่ากราฟเว้าขึ้นที่บริเวณนั้น ดังนั้นจุดนั้นเป็นค่าต่ำสุดเฉพาะที่

วิธีลัดด้วยอนุพันธ์อันดับสองจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อมันมีอยู่และไม่เท่ากับ $0$ ที่จุดวิกฤต ถ้า $f''(x)=0$ คุณต้องใช้การทดสอบแบบอื่น

ตัวอย่างทำโจทย์: ใช้อนุพันธ์หาความสูงสูงสุด

สมมติว่าความสูงของลูกบอลถูกจำลองด้วย

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 2$$

โดยที่ $h$ มีหน่วยเป็นเมตร และ $t$ มีหน่วยเป็นวินาที แบบจำลองลักษณะนี้มีความหมายเฉพาะในช่วงเวลาที่ลูกบอลยังอยู่ในอากาศจริง ๆ เท่านั้น

ขั้นที่ 1: หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

$$h'(t) = -10t + 20$$

อนุพันธ์นี้คืออัตราการเปลี่ยนแปลงฉับพลันของความสูงเทียบกับเวลา ในบริบทนี้ มันคือความเร็วในแนวดิ่ง หน่วยเป็นเมตรต่อวินาที

ขั้นที่ 2: หาว่าเมื่อใดอัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นศูนย์

กำหนดให้อ นุพันธ์เท่ากับศูนย์:

$$-10t + 20 = 0$$ $$t = 2$$

เมื่อ $t=2$ ความเร็วในแนวดิ่งเป็น $0$ ดังนั้นจุดนี้จึงเป็นตัวเลือกที่อาจเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

ขั้นที่ 3: ตรวจสอบว่าเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

ก่อน $t=2$ อนุพันธ์เป็นบวก ดังนั้นความสูงกำลังเพิ่มขึ้น หลัง $t=2$ อนุพันธ์เป็นลบ ดังนั้นความสูงกำลังลดลง

การเปลี่ยนเครื่องหมายแบบนี้หมายความว่าลูกบอลมีความสูงสูงสุดที่ $t=2$

ขั้นที่ 4: แทนค่าในฟังก์ชันเดิม

แทน $t=2$ ลงในฟังก์ชันเดิม:

$$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$$

ดังนั้น ความสูงสูงสุดคือ $22$ เมตร

ตัวอย่างนี้แสดงการประยุกต์หลักทั้งสองอย่างพร้อมกัน:

• $h'(t)$ ให้ค่าอัตราการเปลี่ยนแปลง
• การตั้ง $h'(t)=0$ ช่วยหาว่าเมื่อใดความสูงมากที่สุด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการประยุกต์ของอนุพันธ์

1. มองว่าทุกคำตอบของ $f'(x)=0$ เป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดทันที โดยไม่ตรวจสอบว่าเกิดอะไรขึ้นรอบจุดนั้น
2. ลืมตรวจจุดปลาย เมื่อโจทย์ถามหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงปิด
3. สับสนระหว่างฟังก์ชันเดิมกับอนุพันธ์ อนุพันธ์บอกได้ว่าจุดสุดโต่งเกิดที่ไหน แต่ค่าค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดจริง ๆ ต้องหาจากฟังก์ชันเดิม
4. ละเลยหน่วย ถ้าตำแหน่งมีหน่วยเป็นเมตร และเวลามีหน่วยเป็นวินาที อนุพันธ์จะมีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาที
5. ใช้แบบจำลองนอกช่วงที่มันมีความหมายทางกายภาพ

การประยุกต์ของอนุพันธ์ใช้ที่ไหนบ้าง

ในแคลคูลัสเบื้องต้น อนุพันธ์ถูกใช้ในการสเก็ตช์กราฟ เส้นสัมผัส การเคลื่อนที่ และการหาค่าเหมาะที่สุด ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม อนุพันธ์ใช้อธิบายระบบที่มีการเปลี่ยนแปลง เช่น ความเร็ว ความเร่ง การไหลของความร้อน กระแสไฟฟ้า หรือการเติบโต ในเศรษฐศาสตร์ มันใช้อธิบายต้นทุนส่วนเพิ่มหรือรายรับส่วนเพิ่มได้ ซึ่งทั้งหมดก็เป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงเช่นกัน

ลองทำโจทย์อนุพันธ์ที่คล้ายกัน

ลองทำเวอร์ชันของคุณเองจาก

$$f(x) = -2x^2 + 8x + 3.$$

หา $f'(x)$ ระบุตำแหน่งจุดวิกฤต ตัดสินว่าเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด แล้วคำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดนั้น จากนั้นถ้าคุณอยากดูอีกกรณีหนึ่ง หน้า related rates จะแสดงให้เห็นว่าแนวคิดเรื่องอนุพันธ์เดียวกันนี้ทำงานอย่างไรเมื่อมีปริมาณที่เปลี่ยนแปลงสองตัวเชื่อมโยงกัน