ดีเทอร์มิแนนต์: ความหมาย สมบัติ การขยาย และกฎของเครเมอร์

ดีเทอร์มิแนนต์คือจำนวนเพียงค่าเดียวที่กำหนดให้กับเมทริกซ์จัตุรัส ในทางปฏิบัติ มันช่วยตอบคำถามที่พบบ่อยได้อย่างรวดเร็วสองข้อ: เมทริกซ์นี้ผกผันได้หรือไม่ และทรานส์ฟอร์เมชันเชิงเส้นที่สอดคล้องกันขยายพื้นที่หรือปริมาตรอย่างไร

มีเงื่อนไขสำคัญสองข้อที่ต้องรู้ทันที ดีเทอร์มิแนนต์นิยามไว้สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ถ้า $\det(A)=0$ เมทริกซ์จะเป็นเอกฐาน จึงไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

ดีเทอร์มิแนนต์หมายถึงอะไร

สำหรับเมทริกซ์ $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

ดีเทอร์มิแนนต์คือ

$$\det(A) = ad - bc.$$

ถ้าเมทริกซ์จัตุรัสแทนทรานส์ฟอร์เมชันเชิงเส้นแล้ว $|\det(A)|$ จะให้ตัวคูณการขยายพื้นที่ใน $2$ มิติ หรือการขยายปริมาตรใน $3$ มิติ ส่วนเครื่องหมายบอกว่าทิศทางถูกคงไว้หรือกลับทิศ การตีความเชิงเรขาคณิตนี้อิงกับบริบทยูคลิดตามปกติ

นี่เป็นวิธีตรวจสอบการผกผันได้อย่างรวดเร็วด้วย: $\det(A) \ne 0$ หมายความว่า $A$ ผกผันได้ ส่วน $\det(A)=0$ หมายความว่าผกผันไม่ได้

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ที่สำคัญที่สุด

คุณไม่จำเป็นต้องจำรายการยาว ๆ เพื่อใช้งานดีเทอร์มิแนนต์ให้ดี สมบัติเหล่านี้มักเป็นสิ่งที่สำคัญที่สุด:

• ถ้าสลับสองแถว ดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย
• ถ้าคูณแถวหนึ่งด้วยค่าคงที่ $k$ ดีเทอร์มิแนนต์จะถูกคูณด้วย $k$
• ถ้านำพหุคูณของแถวหนึ่งไปบวกกับอีกแถวหนึ่ง ดีเทอร์มิแนนต์จะคงเดิม
• ถ้าเมทริกซ์มีสองแถวที่เท่ากัน หรือมีแถวหนึ่งเป็นพหุคูณของอีกแถวหนึ่ง ดีเทอร์มิแนนต์จะเป็น $0$
• ถ้า $\det(A) \ne 0$ แล้ว $A$ ผกผันได้ ถ้า $\det(A)=0$ ก็ผกผันไม่ได้

ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับการดำเนินการแถวเหล่านี้มีประโยชน์มาก เพราะช่วยให้คุณทำเมทริกซ์ให้ง่ายขึ้นก่อนคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

การขยายโคแฟกเตอร์ทำงานอย่างไร

สำหรับเมทริกซ์ $3 \times 3$ หรือใหญ่กว่า วิธีมาตรฐานวิธีหนึ่งคือ การขยายโคแฟกเตอร์ แนวคิดคือเลือกหนึ่งแถวหรือหนึ่งหลัก แล้วนำสมาชิกในแถวนั้นหรือหลักนั้นมารวมกับดีเทอร์มิแนนต์ย่อย

สำหรับเมทริกซ์ $A = (a_{ij})$ โคแฟกเตอร์ที่ตำแหน่ง $(i,j)$ คือ

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},$$

โดยที่ $M_{ij}$ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่เหลือหลังจากลบแถวที่ $i$ และหลักที่ $j$

จากนั้น การขยายตามแถวที่ $i$ คือ

$$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}.$$

เครื่องหมายจะสลับกันเป็นรูปแบบตารางหมากรุก:

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$$

ในทางปฏิบัติ ถ้าเป็นไปได้ให้เลือกแถวหรือหลักที่มีศูนย์อยู่ จะช่วยลดปริมาณการคำนวณ

ตัวอย่างทำจริง: หาดีเทอร์มิแนนต์ของ $3 \times 3$

ให้

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$

ขยายตามแถวแรก นี่เป็นตัวเลือกที่ดีในที่นี้ เพราะสมาชิกตัวที่สามเป็น $0$

$$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$

ตอนนี้คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ $2 \times 2$:

$$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (4)(2) = -13$$

และ

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (4)(0) = 15.$$

ดังนั้น

$$\det(A) = 2(-13) - 1(15) + 0 = -26 - 15 = -41.$$

ผลลัพธ์นี้มีข้อสรุปสำคัญทันทีสองอย่าง เนื่องจาก $\det(A) \ne 0$ เมทริกซ์จึงผกผันได้ ในเชิงเรขาคณิต ทรานส์ฟอร์เมชันสามมิติที่สอดคล้องกันจะขยายปริมาตรแบบมีเครื่องหมายด้วยตัวคูณ $-41$ ดังนั้นทิศทางจึงถูกกลับ

ควรใช้กฎของเครเมอร์เมื่อใด

กฎของเครเมอร์ใช้ดีเทอร์มิแนนต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบจัตุรัส ใช้ได้เฉพาะเมื่อเมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์จัตุรัสและมีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์

ถ้า

$$Ax=b$$

โดยที่ $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสและ $\det(A) \ne 0$ แล้ว

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$

โดยที่ $A_i$ เกิดจากการแทนหลักที่ $i$ ของ $A$ ด้วยหลักค่าคงที่ $b$

นี่เป็นวิธีที่ชัดเจนสำหรับระบบขนาดเล็ก เพราะแสดงให้เห็นตรง ๆ ว่าทำไมดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์จึงสอดคล้องกับคำตอบเดียว ถ้า $\det(A)=0$ กฎของเครเมอร์จะไม่ให้คำตอบเอกเทศ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์

ใช้ดีเทอร์มิแนนต์กับเมทริกซ์ที่ไม่เป็นจัตุรัส

เมทริกซ์ $2 \times 3$ ไม่มีดีเทอร์มิแนนต์ เงื่อนไขที่ต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสต้องตรวจสอบก่อนเสมอ

ลืมเครื่องหมายของโคแฟกเตอร์

ในการขยาย รูปแบบเครื่องหมายสำคัญพอ ๆ กับไมเนอร์ ต่อให้หาไมเนอร์ถูก แต่ใส่เครื่องหมายผิด ก็ยังได้ดีเทอร์มิแนนต์ผิดอยู่ดี

ลืมผลของการดำเนินการแถว

ไม่ใช่ทุกการดำเนินการแถวที่จะทำให้ดีเทอร์มิแนนต์คงเดิม การสลับแถวทำให้เครื่องหมายเปลี่ยน การคูณแถวทำให้ดีเทอร์มิแนนต์ถูกคูณตาม และมีเพียงการบวกพหุคูณของแถวหนึ่งไปยังอีกแถวหนึ่งเท่านั้นที่ทำให้ค่าคงเดิม

ใช้กฎของเครเมอร์เมื่อ $\det(A)=0$

สูตรนี้ต้องหารด้วย $\det(A)$ ถ้าดีเทอร์มิแนนต์นั้นเป็น $0$ วิธีนี้จะไม่ให้คำตอบเอกเทศ

ดีเทอร์มิแนนต์ถูกใช้ที่ไหน

ดีเทอร์มิแนนต์ปรากฏอยู่ทั่วพีชคณิตเชิงเส้น เพราะมันเชื่อมโยงคำถามสำคัญหลายข้อเข้าด้วยกัน: เมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผันหรือไม่ ระบบเชิงเส้นมีคำตอบเดียวหรือไม่ และทรานส์ฟอร์เมชันเปลี่ยนพื้นที่หรือปริมาตรอย่างไร

นอกจากนี้ยังปรากฏในเรื่องการเปลี่ยนตัวแปร งานเกี่ยวกับค่าเฉพาะ เรขาคณิต และสมการเชิงอนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม ในโจทย์พื้นฐานจำนวนมาก การใช้งานที่เป็นประโยชน์ที่สุดก็ยังเป็นเรื่องง่ายที่สุด นั่นคือการตรวจสอบว่าเมทริกซ์จัตุรัสเป็นเอกฐานหรือไม่

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองขยาย

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$

ตามแถวแรก หลังจากคุณได้ค่าดีเทอร์มิแนนต์แล้ว ให้ตัดสินว่าเมทริกซ์นี้ผกผันได้หรือไม่ จากนั้นตรวจสอบไมเนอร์แต่ละตัวและรูปแบบเครื่องหมายอีกครั้งก่อนเปรียบเทียบกับคำตอบสุดท้ายของคุณ