เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ที่ย้อนผลของอีกเมทริกซ์หนึ่ง สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส $A$ เมทริกซ์ผกผันเขียนเป็น $A^{-1}$ และเป็นไปตามเงื่อนไข

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

โดยที่ $I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ พูดง่าย ๆ คือ การคูณด้วย $A^{-1}$ จะล้างผลของการคูณด้วย $A$

ไม่ใช่ทุกเมทริกซ์จะมีเมทริกซ์ผกผัน เมทริกซ์นั้นต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัส และสำหรับเมทริกซ์จัตุรัส เงื่อนไขสำคัญคือ $\det(A) \ne 0$

เมทริกซ์ผกผันทำหน้าที่อะไร

ลองมองการคูณเมทริกซ์เป็นการแปลง ถ้า $A$ ทำให้เกิดการยืด การหมุน หรือการผสมพิกัด แล้ว $A^{-1}$ จะย้อนการแปลงนั้นและพาคุณกลับไปยังจุดเริ่มต้น

นี่จึงเป็นเหตุผลที่เมทริกซ์เอกลักษณ์ปรากฏอยู่ในนิยาม เมทริกซ์เอกลักษณ์ไม่เปลี่ยนเวกเตอร์ ดังนั้นเมื่อได้ $I$ จึงหมายความว่าเมทริกซ์ทั้งสองหักล้างกันพอดี

เมทริกซ์ผกผันมีเมื่อใด

มี 2 เงื่อนไขที่สำคัญ:

1. เมทริกซ์ต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัส
2. ดีเทอร์มิแนนต์ต้องไม่เป็นศูนย์

สำหรับเมทริกซ์ $2 \times 2$ ดีเทอร์มิแนนต์คือ $ad-bc$ ถ้า $ad-bc=0$ เมทริกซ์นั้นจะไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

สูตรเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ 2x2

สำหรับเมทริกซ์ $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

เมทริกซ์ผกผันจะมีได้ก็ต่อเมื่อ

$$ad - bc \ne 0$$

ถ้าเงื่อนไขนี้เป็นจริง เมทริกซ์ผกผันคือ

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะกับเมทริกซ์ $2 \times 2$ เท่านั้น เมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่กว่านี้ต้องใช้วิธีอื่น เช่น การลดรูปแถว

ตัวอย่างการหาเมทริกซ์ผกผัน 2x2

จงหาเมทริกซ์ผกผันของ

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

ขั้นที่ 1: ตรวจสอบว่ามีเมทริกซ์ผกผันหรือไม่

คำนวณดีเทอร์มิแนนต์:

$$\det(A) = 4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 24 - 14 = 10$$

เนื่องจาก $10 \ne 0$ เมทริกซ์นี้จึงผกผันได้

ขั้นที่ 2: ใช้สูตร 2x2

สลับสมาชิกบนแนวทแยง เปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกนอกแนวทแยง แล้วหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์:

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

ขั้นที่ 3: ตรวจสอบโดยคูณกลับ

$$\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 24 - 14 & -28 + 28 \\ 12 - 12 & -14 + 24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

การตรวจสอบนี้สำคัญมาก เมทริกซ์ที่เสนอว่าเป็นเมทริกซ์ผกผันจะถูกต้องก็ต่อเมื่อผลคูณออกมาเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาเมทริกซ์ผกผัน

1. พยายามหาผกผันของแต่ละสมาชิกแยกกัน โดยทั่วไป เมทริกซ์ผกผันไม่ได้หาได้จากการนำสมาชิกแต่ละตัวไปกลับเศษ
2. ลืมตรวจสอบเงื่อนไขการมีอยู่ ถ้า $\det(A) = 0$ เมทริกซ์จะไม่มีเมทริกซ์ผกผัน
3. สับสนเรื่องการเปลี่ยนเครื่องหมายในสูตร $2 \times 2$ สมาชิกนอกแนวทแยงต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย ส่วนสมาชิกบนแนวทแยงต้องสลับตำแหน่งกัน
4. ข้ามขั้นตอนการตรวจด้วยการคูณ ถ้าผลคูณไม่ใช่ $I$ แสดงว่าเมทริกซ์ผกผันนั้นไม่ถูกต้อง

เมทริกซ์ผกผันถูกใช้ที่ไหน

เมทริกซ์ผกผันใช้เมื่อคุณต้องการย้อนกระบวนการเชิงเส้น ในวิชาพีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น มักหมายถึงการแก้ระบบสมการอย่าง $Ax=b$ โดยเขียนเป็น

$$x = A^{-1}b$$

เมื่อ $A$ ผกผันได้ แนวคิดเดียวกันนี้ยังปรากฏในเรื่องการเปลี่ยนพิกัด การแปลงเชิงเส้น และแบบจำลองบางอย่างในข้อมูลและวิศวกรรม

ในทางปฏิบัติ คนมักแก้ระบบสมการด้วยการลดรูปแถวหรือวิธีเชิงตัวเลข แทนการคำนวณเมทริกซ์ผกผันทั้งหมดด้วยมือ ถึงอย่างนั้น เมทริกซ์ผกผันก็ยังเป็นแนวคิดสำคัญ เพราะช่วยอธิบายว่าเมื่อใดระบบจะมีคำตอบเดียว และการย้อนการแปลงหมายถึงอะไร

วิธีตรวจคำตอบอย่างรวดเร็ว

เมทริกซ์ผกผันควรย้อนผลของเมทริกซ์เดิมได้จริง ไม่ใช่แค่ดูเหมือนถูก วิธีตรวจที่เร็วที่สุดคือคูณเมทริกซ์เดิมกับคำตอบของคุณ ถ้าไม่ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ แสดงว่าคำตอบไม่ถูกต้อง

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองหาเมทริกซ์ผกผันของ

$$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}$$

เริ่มจากตรวจสอบดีเทอร์มิแนนต์ จากนั้นคำนวณเมทริกซ์ผกผันและคูณกลับเพื่อดูว่าได้ $I$ หรือไม่ ถ้าต้องการตรวจต่ออย่างรวดเร็วหลังจากทำด้วยมือแล้ว ลองใส่โจทย์ของคุณในตัวแก้สมการและเปรียบเทียบผลคูณ ไม่ใช่ดูแค่สมาชิกสุดท้าย