Determinante di una matrice: significato, proprietà, sviluppo e regola di Cramer

Un determinante è un singolo numero associato a una matrice quadrata. In pratica, risponde rapidamente a due domande comuni: la matrice è invertibile e in che modo la trasformazione lineare corrispondente scala area o volume?

Ci sono subito due condizioni importanti. I determinanti sono definiti solo per matrici quadrate. Se $\det(A)=0$, la matrice è singolare, quindi non ha un'inversa.

Cosa significa un determinante

Per una matrice $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

il determinante è

$$\det(A) = ad - bc.$$

Se una matrice quadrata rappresenta una trasformazione lineare, allora $|\det(A)|$ fornisce il fattore di scala dell'area in $2$ dimensioni o del volume in $3$ dimensioni. Il segno indica se l'orientazione viene preservata oppure invertita. Questa interpretazione geometrica è legata al consueto contesto euclideo.

Questo è anche il test rapido di invertibilità: $\det(A) \ne 0$ significa che $A$ è invertibile, mentre $\det(A)=0$ significa che non lo è.

Le proprietà del determinante più importanti

Non serve un elenco lungo per usare bene i determinanti. Queste sono le proprietà che di solito contano di più:

• Se si scambiano due righe, il determinante cambia segno.
• Se una riga viene moltiplicata per una costante $k$, il determinante viene moltiplicato per $k$.
• Se a una riga si aggiunge un multiplo di un'altra riga, il determinante resta invariato.
• Se una matrice ha due righe uguali, oppure una riga è multipla di un'altra, il suo determinante è $0$.
• Se $\det(A) \ne 0$, allora $A$ è invertibile. Se $\det(A)=0$, non lo è.

Questi fatti sulle operazioni di riga sono particolarmente utili perché permettono di semplificare una matrice prima di calcolarne il determinante.

Come funziona lo sviluppo per cofattori

Per una matrice $3 \times 3$ o più grande, un metodo standard è lo sviluppo per cofattori. L'idea è scegliere una riga o una colonna, poi combinare i suoi elementi con determinanti più piccoli.

Per una matrice $A = (a_{ij})$, il cofattore nella posizione $(i,j)$ è

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},$$

dove $M_{ij}$ è il determinante della matrice più piccola che si ottiene eliminando la riga $i$ e la colonna $j$.

Allora uno sviluppo lungo la riga $i$ è

$$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}.$$

I segni si alternano secondo uno schema a scacchiera:

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$$

In pratica, quando possibile conviene scegliere una riga o una colonna con degli zeri. Questo riduce la quantità di calcoli.

Esempio svolto: calcolare un determinante $3 \times 3$

Sia

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$

Sviluppiamo lungo la prima riga. Qui è una buona scelta perché il terzo elemento è $0$.

$$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Ora calcoliamo i determinanti $2 \times 2$:

$$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (4)(2) = -13$$

e

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (4)(0) = 15.$$

Quindi

$$\det(A) = 2(-13) - 1(15) + 0 = -26 - 15 = -41.$$

Questo risultato ha due conseguenze immediate. Poiché $\det(A) \ne 0$, la matrice è invertibile. Dal punto di vista geometrico, la trasformazione associata in $3$D scala il volume orientato di un fattore pari a $-41$, quindi l'orientazione viene invertita.

Quando usare la regola di Cramer

La regola di Cramer usa i determinanti per risolvere un sistema quadrato di equazioni lineari. Si applica solo quando la matrice dei coefficienti è quadrata e ha determinante diverso da zero.

Se

$$Ax=b$$

con $A$ quadrata e $\det(A) \ne 0$, allora

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$

dove $A_i$ si ottiene sostituendo la colonna $i$-esima di $A$ con la colonna dei termini noti $b$.

Questo è un metodo chiaro per sistemi piccoli perché mostra esattamente perché un determinante non nullo corrisponde a una soluzione unica. Se $\det(A)=0$, la regola di Cramer non fornisce una soluzione unica.

Errori comuni con i determinanti

Usare i determinanti su matrici non quadrate

Una matrice $2 \times 3$ non ha determinante. La condizione di matrice quadrata viene prima di tutto.

Perdere i segni dei cofattori

Nello sviluppo, lo schema dei segni conta tanto quanto i minori. Un minore corretto con il segno sbagliato porta comunque a un determinante errato.

Dimenticare cosa fanno le operazioni di riga

Non tutte le operazioni di riga lasciano invariato il determinante. Scambiare righe cambia il segno, moltiplicare una riga ne scala il valore, e solo aggiungere a una riga un multiplo di un'altra lo lascia invariato.

Usare la regola di Cramer quando $\det(A)=0$

La formula divide per $\det(A)$. Se quel determinante è $0$, il metodo non produce una soluzione unica.

Dove si usano i determinanti

I determinanti compaiono in tutta l'algebra lineare perché collegano diverse domande importanti: una matrice ha un'inversa, un sistema lineare ha una soluzione unica e in che modo una trasformazione cambia area o volume?

Compaiono anche nel cambiamento di variabili, nello studio degli autovalori, in geometria e nelle equazioni differenziali. In molti problemi introduttivi, però, l'uso più pratico resta ancora il più semplice: verificare se una matrice quadrata è singolare.

Prova una tua versione

Prova a sviluppare

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$

lungo la prima riga. Dopo aver trovato il determinante, decidi se la matrice è invertibile. Poi controlla ogni minore e lo schema dei segni prima di confrontare la tua risposta finale.