เมทริกซ์ — ประเภท การดำเนินการ และดีเทอร์มิแนนต์

เมทริกซ์คือการจัดเรียงตัวเลขเป็นตารางสี่เหลี่ยม โดยวางเป็นแถวและคอลัมน์ หากต้องการเข้าใจเมทริกซ์อย่างรวดเร็ว ให้โฟกัส 4 เรื่องคือ ขนาด ประเภทของเมทริกซ์ที่พบบ่อย การดำเนินการใดที่นิยามได้ และดีเทอร์มิแนนต์บอกอะไรเมื่อเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์จัตุรัส

เมทริกซ์ใช้จัดระเบียบข้อมูลได้ แต่ในพีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น เมทริกซ์ยังใช้แทนกฎที่แปลงเวกเตอร์ด้วย คุณยังไม่จำเป็นต้องรู้ทฤษฎีทั้งหมดเพื่อเริ่มต้น สิ่งสำคัญหลัก ๆ คือเข้าใจว่าขนาดเป็นตัวกำหนดกฎต่าง ๆ

ขนาดของเมทริกซ์: แถวและคอลัมน์

ขนาดของเมทริกซ์เขียนเป็น จำนวนแถว × จำนวนคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 5 \end{bmatrix}$$

เป็นเมทริกซ์ขนาด $2 \times 3$ เพราะมี $2$ แถวและ $3$ คอลัมน์

ขนาดนี้ไม่ได้เป็นแค่ป้ายกำกับเท่านั้น แต่เป็นตัวกำหนดว่าเมทริกซ์ทำอะไรได้ และการดำเนินการใดสมเหตุสมผล

ประเภทของเมทริกซ์ที่พบบ่อย

โจทย์เมทริกซ์ระดับเริ่มต้นส่วนใหญ่มักใช้เมทริกซ์อยู่ไม่กี่ประเภท

เมทริกซ์แถวและเมทริกซ์หลัก

เมทริกซ์แถวมีเพียงหนึ่งแถว เช่น เมทริกซ์ขนาด $1 \times 3$ ส่วนเมทริกซ์หลักมีเพียงหนึ่งคอลัมน์ เช่น เมทริกซ์ขนาด $3 \times 1$

เมทริกซ์จัตุรัส

เมทริกซ์จัตุรัสมีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์ เช่น $2 \times 2$ หรือ $3 \times 3$ ดีเทอร์มิแนนต์และเมทริกซ์ผกผันนิยามได้เฉพาะสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น

เมทริกซ์ทแยงมุม

เมทริกซ์ทแยงมุมเป็นเมทริกซ์จัตุรัส และมีค่าเป็นศูนย์ทุกตำแหน่ง ยกเว้นอาจมีค่าบนเส้นทแยงมุมหลัก เมทริกซ์ชนิดนี้มักจัดการได้ง่ายกว่า เพราะค่าที่สำคัญกระจุกอยู่บนเส้นทแยงมุมนั้น

เมทริกซ์เอกลักษณ์

เมทริกซ์เอกลักษณ์คือเวอร์ชันของเลข $1$ ในการคูณสำหรับเมทริกซ์ สำหรับกรณี $2 \times 2$

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

และเมื่อคูณด้วย $I$ เมทริกซ์ที่เข้ากันได้จะไม่เปลี่ยนแปลง

เมทริกซ์ศูนย์

เมทริกซ์ศูนย์คือเมทริกซ์ที่ทุกสมาชิกมีค่าเท่ากับ $0$ เมทริกซ์ชนิดนี้มีได้หลายขนาด และทำหน้าที่เหมือนศูนย์ของการบวกสำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดเดียวกัน

การดำเนินการของเมทริกซ์: อะไรนิยามได้ และอะไรนิยามไม่ได้

การบวกและการลบ

คุณจะบวกหรือลบเมทริกซ์ได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ทั้งสองมีขนาดเท่ากันทุกประการ การดำเนินการทำแบบสมาชิกต่อสมาชิก

ถ้าขนาดต่างกัน การดำเนินการนั้นจะไม่นิยาม

การคูณด้วยสเกลาร์

ถ้าคุณคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า สเกลาร์ คุณต้องคูณทุกสมาชิกด้วยจำนวนนั้น

ตัวอย่างเช่น

$$3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}$$

การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์ใช้กฎที่ต่างออกไป ถ้า $A$ มีขนาด $m \times n$ และ $B$ มีขนาด $n \times p$ แล้ว $AB$ จะนิยามได้ และผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ขนาด $m \times p$

มิติด้านในต้องตรงกัน นี่คือเงื่อนไข:

$$(m \times n)(n \times p)$$

นิยามได้ แต่

$$(m \times n)(r \times p)$$

จะไม่นิยามเมื่อ $n \ne r$

ลำดับก็สำคัญเช่นกัน แม้ว่าผลคูณทั้งสองแบบจะมีอยู่ แต่โดยทั่วไป $AB$ และ $BA$ มักไม่เท่ากัน

ทรานสโพส

ทรานสโพสของเมทริกซ์คือการสลับแถวกับคอลัมน์ เมทริกซ์ขนาด $2 \times 3$ จะกลายเป็นเมทริกซ์ขนาด $3 \times 2$

เรื่องนี้สำคัญในหลายสูตร เพราะมันเปลี่ยนวิธีที่เมทริกซ์จัดแนวกันในการคูณ

ดีเทอร์มิแนนต์: มันบอกอะไรได้บ้าง

ดีเทอร์มิแนนต์คือจำนวนเพียงค่าเดียวที่ผูกกับเมทริกซ์จัตุรัสหนึ่งตัว มันไม่นิยามสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่เป็นจัตุรัส

สำหรับเมทริกซ์ขนาด $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

ดีเทอร์มิแนนต์คือ

$$\det(A) = ad - bc$$

ในระดับเริ่มต้น การตีความที่มีประโยชน์ที่สุดคือ:

• ถ้า $\det(A) \ne 0$ เมทริกซ์นั้นผกผันได้
• ถ้า $\det(A) = 0$ เมทริกซ์นั้นผกผันไม่ได้

ในเชิงเรขาคณิต สำหรับเมทริกซ์ $2 \times 2$ ค่า $|\det(A)|$ ให้ตัวคูณที่พื้นที่ถูกขยายหรือย่อ ส่วนเครื่องหมายบอกว่าทิศทางเดิมยังคงอยู่หรือกลับด้าน

ตัวอย่างเมทริกซ์แบบทำให้ดู

พิจารณา

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

นี่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของมันจึงนิยามได้ คำนวณด้วยสูตร $ad-bc$:

$$\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5$$

เพราะ $\det(A) = 5 \ne 0$ เมทริกซ์นี้จึงผกผันได้

ตัวอย่างเดียวนี้เชื่อมโยงแนวคิดหลักทั้งหมด:

• เมทริกซ์นี้มีขนาด $2 \times 2$ จึงเป็นเมทริกซ์จัตุรัส
• เมื่อเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ดีเทอร์มิแนนต์จึงนิยามได้
• ดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์หมายความว่าเมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผัน
• ถ้ามองเป็นการแปลงบนระนาบ เมทริกซ์นี้จะคูณพื้นที่เชิงเครื่องหมายด้วย $5$

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมดีเทอร์มิแนนต์จึงสำคัญ มันไม่ใช่แค่ตัวเลขที่คำนวณออกมา แต่บอกคุณสมบัติเชิงโครงสร้างบางอย่างของเมทริกซ์ด้วย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับเมทริกซ์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือพยายามบวกเมทริกซ์ที่มีขนาดต่างกัน อีกอย่างคือพยายามคูณเมทริกซ์โดยไม่ตรวจสอบมิติด้านในก่อน

นักเรียนจำนวนมากยังมักสมมติว่า $AB=BA$ แต่สำหรับเมทริกซ์ โดยทั่วไปแล้วไม่จริง

สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ ข้อผิดพลาดหลักคือเอาไปใช้กับเมทริกซ์ที่ไม่เป็นจัตุรัส อีกข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือจำสูตร $2 \times 2$ ผิดเป็น $ad+bc$ แทนที่จะเป็น $ad-bc$

เมทริกซ์ถูกใช้ที่ไหน

เมทริกซ์ปรากฏในทุกที่ที่ต้องจัดระเบียบความสัมพันธ์ของหลายปริมาณพร้อมกัน ในวิชาเบื้องต้น มักใช้กับระบบสมการและการแปลงเชิงเส้น

เมทริกซ์ยังพบได้ในคอมพิวเตอร์กราฟิก การวิเคราะห์ข้อมูล แบบจำลองทางวิศวกรรม และการคำนวณเชิงตัวเลข รายละเอียดอาจต่างกันไปตามสาขา แต่กฎพื้นฐานเรื่องขนาด การคูณ และการผกผันได้ยังคงสำคัญเหมือนเดิม

ลองทำโจทย์เมทริกซ์ที่คล้ายกัน

เลือกเมทริกซ์ขนาดเล็ก $2 \times 2$ มาหนึ่งตัว แล้วตอบ 4 คำถาม: มันมีขนาดเท่าไร เป็นเมทริกซ์จัตุรัสหรือไม่ ดีเทอร์มิแนนต์เท่าไร และมีเมทริกซ์ผกผันหรือไม่

ถ้าคุณจะใช้เครื่องคิดเลขในภายหลัง ให้ลองคาดเดาคำตอบเหล่านั้นก่อนคำนวณ วิธีนี้จะทำให้เครื่องมือเป็นตัวตรวจสอบ ไม่ใช่ตัวแทนของความเข้าใจ