Định thức: ý nghĩa, tính chất, khai triển và quy tắc Cramer

Định thức là một số duy nhất gắn với một ma trận vuông. Trong thực tế, nó giúp trả lời nhanh hai câu hỏi thường gặp: ma trận có khả nghịch hay không, và phép biến đổi tuyến tính tương ứng làm co giãn diện tích hoặc thể tích như thế nào?

Có hai điều kiện quan trọng cần nhớ ngay từ đầu. Định thức chỉ được xác định cho ma trận vuông. Nếu $\det(A)=0$, ma trận là suy biến nên không có ma trận nghịch đảo.

Định thức có ý nghĩa gì

Với ma trận $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

thì định thức là

$$\det(A) = ad - bc.$$

Nếu một ma trận vuông biểu diễn một phép biến đổi tuyến tính, thì $|\det(A)|$ cho biết hệ số co giãn diện tích trong không gian $2$ chiều hoặc hệ số co giãn thể tích trong không gian $3$ chiều. Dấu của định thức cho biết hướng được bảo toàn hay bị đảo ngược. Cách hiểu hình học này gắn với bối cảnh Euclid thông thường.

Đây cũng là cách kiểm tra nhanh tính khả nghịch: $\det(A) \ne 0$ nghĩa là $A$ khả nghịch, còn $\det(A)=0$ nghĩa là không khả nghịch.

Những tính chất định thức quan trọng nhất

Bạn không cần một danh sách quá dài để dùng định thức hiệu quả. Đây là những tính chất thường quan trọng nhất:

• Nếu đổi chỗ hai hàng, định thức đổi dấu.
• Nếu nhân một hàng với hằng số $k$, định thức cũng được nhân với $k$.
• Nếu cộng một bội của một hàng vào hàng khác, định thức không đổi.
• Nếu một ma trận có hai hàng bằng nhau, hoặc một hàng là bội của hàng khác, thì định thức của nó bằng $0$.
• Nếu $\det(A) \ne 0$, thì $A$ khả nghịch. Nếu $\det(A)=0$, thì không khả nghịch.

Các tính chất liên quan đến phép biến đổi hàng đặc biệt hữu ích vì chúng cho phép bạn đơn giản hóa ma trận trước khi tính định thức.

Khai triển theo phần bù đại số hoạt động như thế nào

Với ma trận $3 \times 3$ hoặc lớn hơn, một phương pháp chuẩn là khai triển theo phần bù đại số. Ý tưởng là chọn một hàng hoặc một cột, rồi kết hợp các phần tử của nó với những định thức nhỏ hơn.

Với ma trận $A = (a_{ij})$, phần bù đại số tại vị trí $(i,j)$ là

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},$$

trong đó $M_{ij}$ là định thức của ma trận nhỏ hơn thu được sau khi xóa hàng $i$ và cột $j$.

Khi đó, khai triển theo hàng $i$ là

$$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}.$$

Các dấu xen kẽ theo dạng bàn cờ:

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$$

Trong thực tế, nếu có thể hãy chọn hàng hoặc cột có nhiều số $0$. Điều đó sẽ giảm lượng tính toán.

Ví dụ có lời giải: tìm định thức $3 \times 3$

Cho

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$

Khai triển theo hàng đầu tiên. Đây là lựa chọn tốt vì phần tử thứ ba bằng $0$.

$$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Bây giờ tính các định thức $2 \times 2$:

$$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (4)(2) = -13$$

và

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (4)(0) = 15.$$

Vậy

$$\det(A) = 2(-13) - 1(15) + 0 = -26 - 15 = -41.$$

Kết quả này có hai hệ quả trực tiếp. Vì $\det(A) \ne 0$, ma trận khả nghịch. Về mặt hình học, phép biến đổi $3$D tương ứng làm co giãn thể tích có hướng với hệ số $-41$, nên hướng bị đảo ngược.

Khi nào dùng quy tắc Cramer

Quy tắc Cramer dùng định thức để giải một hệ phương trình tuyến tính vuông. Nó chỉ áp dụng khi ma trận hệ số là ma trận vuông và có định thức khác $0$.

Nếu

$$Ax=b$$

với $A$ là ma trận vuông và $\det(A) \ne 0$, thì

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$

trong đó $A_i$ được tạo bằng cách thay cột thứ $i$ của $A$ bằng cột hằng số $b$.

Đây là một phương pháp gọn gàng cho các hệ nhỏ vì nó cho thấy rõ vì sao định thức khác $0$ tương ứng với nghiệm duy nhất. Nếu $\det(A)=0$, quy tắc Cramer không cho ra một nghiệm duy nhất.

Những lỗi thường gặp khi làm định thức

Dùng định thức cho ma trận không vuông

Ma trận $2 \times 3$ không có định thức. Điều kiện ma trận vuông luôn phải được kiểm tra trước.

Làm sai dấu trong khai triển theo phần bù đại số

Trong khai triển, quy luật dấu quan trọng không kém các định thức con. Một định thức con đúng nhưng gắn sai dấu vẫn cho ra kết quả sai.

Quên tác động của các phép biến đổi hàng

Không phải phép biến đổi hàng nào cũng giữ nguyên định thức. Đổi chỗ hai hàng làm đổi dấu, nhân một hàng với một số sẽ làm định thức thay đổi theo số đó, và chỉ có việc cộng một bội của một hàng vào hàng khác là giữ nguyên định thức.

Dùng quy tắc Cramer khi $\det(A)=0$

Công thức có phép chia cho $\det(A)$. Nếu định thức đó bằng $0$, phương pháp này không tạo ra nghiệm duy nhất.

Định thức được dùng ở đâu

Định thức xuất hiện xuyên suốt đại số tuyến tính vì nó kết nối nhiều câu hỏi quan trọng: ma trận có nghịch đảo hay không, hệ tuyến tính có nghiệm duy nhất hay không, và phép biến đổi làm thay đổi diện tích hoặc thể tích như thế nào?

Định thức cũng xuất hiện trong phép đổi biến, bài toán trị riêng, hình học và phương trình vi phân. Tuy vậy, trong nhiều bài toán nhập môn, cách dùng thực tế nhất vẫn là cách đơn giản nhất: kiểm tra xem một ma trận vuông có suy biến hay không.

Tự thử một ví dụ

Hãy thử khai triển

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$

theo hàng đầu tiên. Sau khi tìm được định thức, hãy quyết định xem ma trận có khả nghịch hay không. Sau đó kiểm tra lại từng định thức con và quy luật dấu trước khi so sánh với đáp án cuối cùng của bạn.