Determinan: pengertian, sifat, ekspansi, dan Aturan Cramer

Determinan adalah satu bilangan yang terkait dengan matriks persegi. Dalam praktiknya, determinan dengan cepat menjawab dua pertanyaan umum: apakah matriks dapat dibalik, dan bagaimana transformasi linear yang bersesuaian mengubah skala luas atau volume?

Dua syarat langsung penting. Determinan hanya didefinisikan untuk matriks persegi. Jika $\det(A)=0$, matriks tersebut singular, sehingga tidak memiliki invers.

Apa arti determinan

Untuk matriks $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

determinan adalah

$$\det(A) = ad - bc.$$

Jika sebuah matriks persegi merepresentasikan transformasi linear, maka $|\det(A)|$ memberikan faktor skala luas pada 2 dimensi atau faktor skala volume pada 3 dimensi. Tandanya menunjukkan apakah orientasi dipertahankan atau dibalik. Interpretasi geometri ini terkait dengan setting Euclid yang biasa.

Ini juga merupakan uji cepat untuk keterbalikan: $\det(A) \ne 0$ berarti $A$ dapat dibalik, sedangkan $\det(A)=0$ berarti tidak.

Sifat determinan yang paling penting

Anda tidak perlu daftar panjang untuk menggunakan determinan dengan baik. Berikut sifat-sifat yang biasanya paling penting:

• Jika dua baris ditukar, tanda determinan berubah.
• Jika satu baris dikalikan dengan konstanta $k$, determinan juga dikalikan dengan $k$.
• Jika kelipatan satu baris ditambahkan ke baris lain, determinan tetap sama.
• Jika sebuah matriks memiliki dua baris yang sama, atau satu baris merupakan kelipatan dari baris lain, determinannya adalah $0$.
• Jika $\det(A) \ne 0$, maka $A$ dapat dibalik. Jika $\det(A)=0$, maka tidak.

Fakta tentang operasi baris ini sangat berguna karena memungkinkan Anda menyederhanakan matriks sebelum menghitung determinannya.

Cara kerja ekspansi kofaktor

Untuk matriks $3 \times 3$ atau yang lebih besar, salah satu metode standar adalah ekspansi kofaktor. Idenya adalah memilih satu baris atau kolom, lalu menggabungkan elemennya dengan determinan-determinan yang lebih kecil.

Untuk matriks $A = (a_{ij})$, kofaktor pada posisi $(i,j)$ adalah

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},$$

dengan $M_{ij}$ adalah determinan dari matriks kecil yang tersisa setelah menghapus baris $i$ dan kolom $j$.

Kemudian ekspansi sepanjang baris $i$ adalah

$$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}.$$

Tandanya berselang-seling dalam pola seperti papan catur:

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$$

Dalam praktiknya, pilih baris atau kolom yang memiliki nol jika memungkinkan. Itu akan mengurangi banyaknya perhitungan.

Contoh: mencari determinan $3 \times 3$

Misalkan

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$

Lakukan ekspansi sepanjang baris pertama. Itu pilihan yang baik di sini karena entri ketiga adalah $0$.

$$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Sekarang hitung determinan $2 \times 2$:

$$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (4)(2) = -13$$

dan

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (4)(0) = 15.$$

Jadi

$$\det(A) = 2(-13) - 1(15) + 0 = -26 - 15 = -41.$$

Hasil itu memiliki dua konsekuensi langsung. Karena $\det(A) \ne 0$, matriks tersebut dapat dibalik. Secara geometri, transformasi 3D yang terkait mengubah volume bertanda dengan faktor $-41$, sehingga orientasi dibalik.

Kapan menggunakan Aturan Cramer

Aturan Cramer menggunakan determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berbentuk persegi. Aturan ini hanya berlaku ketika matriks koefisien berbentuk persegi dan memiliki determinan tak nol.

Jika

$$Ax=b$$

dengan $A$ persegi dan $\det(A) \ne 0$, maka

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$

dengan $A_i$ dibentuk dengan mengganti kolom ke-$i$ dari $A$ dengan kolom konstanta $b$.

Ini adalah metode yang rapi untuk sistem kecil karena menunjukkan dengan jelas mengapa determinan tak nol berkaitan dengan solusi tunggal. Jika $\det(A)=0$, Aturan Cramer tidak memberikan penyelesaian tunggal.

Kesalahan umum pada determinan

Menggunakan determinan pada matriks non-persegi

Matriks $2 \times 3$ tidak memiliki determinan. Syarat matriks persegi harus diperiksa terlebih dahulu.

Salah tanda pada kofaktor

Dalam ekspansi, pola tanda sama pentingnya dengan minor. Minor yang benar tetapi dengan tanda yang salah tetap menghasilkan determinan yang salah.

Lupa efek operasi baris

Tidak semua operasi baris membuat determinan tetap sama. Menukar baris mengubah tanda, mengalikan satu baris mengubah skala determinan, dan hanya menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain yang mempertahankan nilainya.

Menggunakan Aturan Cramer saat $\det(A)=0$

Rumusnya membagi dengan $\det(A)$. Jika determinan itu $0$, metode ini tidak menghasilkan solusi tunggal.

Di mana determinan digunakan

Determinan muncul di seluruh aljabar linear karena menghubungkan beberapa pertanyaan penting: apakah matriks memiliki invers, apakah sistem linear memiliki solusi tunggal, dan bagaimana suatu transformasi mengubah luas atau volume?

Determinan juga muncul dalam perubahan variabel, nilai eigen, geometri, dan persamaan diferensial. Namun, dalam banyak soal pengantar, penggunaan yang paling praktis tetap yang paling sederhana: memeriksa apakah matriks persegi bersifat singular.

Coba versi Anda sendiri

Coba lakukan ekspansi pada

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$

sepanjang baris pertama. Setelah Anda mendapatkan determinannya, tentukan apakah matriks tersebut dapat dibalik. Lalu periksa setiap minor dan pola tanda sebelum membandingkan jawaban akhir Anda.