行列式：含义、性质、展开与克拉默法则

行列式是与一个方阵对应的单个数值。在实际应用中，它能快速回答两个常见问题：矩阵是否可逆，以及对应的线性变换会怎样缩放面积或体积。

有两个条件需要先明确。行列式只对方阵有定义。如果 $\det(A)=0$，那么这个矩阵是奇异矩阵，因此它没有逆矩阵。

行列式的含义

对于一个 $2 \times 2$ 矩阵

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

它的行列式是

$$\det(A) = ad - bc.$$

如果一个方阵表示某个线性变换，那么 $|\det(A)|$ 给出二维中的面积缩放因子，或三维中的体积缩放因子。符号则告诉你方向是否保持不变，还是发生了反转。这个几何解释建立在通常的欧几里得空间背景下。

这也是判断可逆性的快速方法：$\det(A) \ne 0$ 表示 $A$ 可逆，而 $\det(A)=0$ 表示它不可逆。

最重要的行列式性质

要正确使用行列式，并不需要记很长的性质列表。通常最重要的是下面这些：

• 交换两行，行列式变号。
• 某一行乘以常数 $k$，行列式也乘以 $k$。
• 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
• 如果矩阵有两行相同，或者一行是另一行的倍数，那么它的行列式为 $0$。
• 如果 $\det(A) \ne 0$，那么 $A$ 可逆；如果 $\det(A)=0$，则不可逆。

这些关于行变换的事实特别有用，因为它们允许你在计算行列式之前先把矩阵化简。

代数余子式展开是怎样工作的

对于 $3 \times 3$ 或更大的矩阵，一种标准方法是代数余子式展开。核心思想是先选定一行或一列，再把其中的元素与更小的行列式组合起来。

对于矩阵 $A = (a_{ij})$，位置 $(i,j)$ 处的代数余子式是

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},$$

其中 $M_{ij}$ 是删去第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的小矩阵的行列式。

那么沿第 $i$ 行展开可写为

$$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}.$$

符号按棋盘格模式交替变化：

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$$

在实际计算中，如果可以，尽量选择含有较多 $0$ 的行或列。这样能减少计算量。

例题：求一个 $3 \times 3$ 行列式

设

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$

沿第一行展开。这里这样选是个好主意，因为第三个元素是 $0$。

$$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$

现在计算这些 $2 \times 2$ 行列式：

$$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (4)(2) = -13$$

以及

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (4)(0) = 15.$$

所以

$$\det(A) = 2(-13) - 1(15) + 0 = -26 - 15 = -41.$$

这个结果有两个直接结论。由于 $\det(A) \ne 0$，该矩阵可逆。从几何上看，对应的三维变换会把带符号体积缩放为原来的 $-41$ 倍，因此方向发生反转。

什么时候使用克拉默法则

克拉默法则利用行列式来求解方程组。它只适用于系数矩阵是方阵且行列式非零的情况。

如果

$$Ax=b$$

其中 $A$ 是方阵且 $\det(A) \ne 0$，那么

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$

其中 $A_i$ 是把 $A$ 的第 $i$ 列替换为常数列 $b$ 后得到的矩阵。

对于小型方程组，这是一种很清晰的方法，因为它准确说明了为什么非零行列式对应唯一解。如果 $\det(A)=0$，克拉默法则就不能给出唯一解。

行列式中的常见错误

对非方阵使用行列式

一个 $2 \times 3$ 矩阵没有行列式。首先必须满足方阵这个条件。

丢掉代数余子式的符号

在展开时，符号模式和子式本身同样重要。即使子式算对了，只要符号错了，最终的行列式仍然会错。

忘记行变换对行列式的影响

并不是所有行变换都保持行列式不变。交换两行会变号，一行乘常数会让行列式按同样倍数变化，只有把一行的倍数加到另一行时，行列式才保持不变。

在 $\det(A)=0$ 时使用克拉默法则

公式中要除以 $\det(A)$。如果这个行列式是 $0$，该方法就不能得到唯一解。

行列式的应用

行列式在整个线性代数中都会出现，因为它把几个重要问题联系在一起：矩阵是否有逆、线性方程组是否有唯一解，以及一个变换会怎样改变面积或体积。

它还出现在变量替换、特征值问题、几何和微分方程中。不过在许多入门题目里，它最实用的用途仍然是最简单的那个：判断一个方阵是否是奇异矩阵。

自己试一试

试着沿第一行展开

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$

求出行列式后，再判断这个矩阵是否可逆。然后在比较最终答案之前，检查每个子式和符号模式是否都正确。