Déterminants : définition, propriétés, développement et règle de Cramer

Un déterminant est un nombre unique associé à une matrice carrée. En pratique, il répond rapidement à deux questions courantes : la matrice est-elle inversible, et comment la transformation linéaire correspondante modifie-t-elle l’aire ou le volume ?

Deux conditions sont importantes dès le départ. Les déterminants ne sont définis que pour les matrices carrées. Si $\det(A)=0$, la matrice est singulière, donc elle n’a pas d’inverse.

Ce que signifie un déterminant

Pour une matrice $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

le déterminant est

$$\det(A) = ad - bc.$$

Si une matrice carrée représente une transformation linéaire, alors $|\det(A)|$ donne le facteur d’échelle de l’aire en dimension $2$ ou le facteur d’échelle du volume en dimension $3$. Le signe indique si l’orientation est conservée ou inversée. Cette interprétation géométrique est liée au cadre euclidien habituel.

C’est aussi le test rapide d’inversibilité : $\det(A) \ne 0$ signifie que $A$ est inversible, tandis que $\det(A)=0$ signifie qu’elle ne l’est pas.

Les propriétés du déterminant les plus importantes

Vous n’avez pas besoin d’une longue liste pour bien utiliser les déterminants. Voici les propriétés qui comptent le plus en général :

• Si l’on échange deux lignes, le déterminant change de signe.
• Si l’on multiplie une ligne par une constante $k$, le déterminant est multiplié par $k$.
• Si l’on ajoute à une ligne un multiple d’une autre ligne, le déterminant reste inchangé.
• Si une matrice a deux lignes égales, ou si une ligne est un multiple d’une autre, son déterminant vaut $0$.
• Si $\det(A) \ne 0$, alors $A$ est inversible. Si $\det(A)=0$, elle ne l’est pas.

Ces faits sur les opérations sur les lignes sont particulièrement utiles, car ils permettent de simplifier une matrice avant de calculer son déterminant.

Comment fonctionne le développement par cofacteurs

Pour une matrice $3 \times 3$ ou plus grande, une méthode classique est le développement par cofacteurs. L’idée est de choisir une ligne ou une colonne, puis de combiner ses éléments avec des déterminants plus petits.

Pour une matrice $A = (a_{ij})$, le cofacteur en position $(i,j)$ est

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},$$

où $M_{ij}$ est le déterminant de la matrice plus petite obtenue après suppression de la ligne $i$ et de la colonne $j$.

Alors un développement selon la ligne $i$ est

$$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}.$$

Les signes alternent selon un motif en damier :

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$$

En pratique, choisissez si possible une ligne ou une colonne contenant des zéros. Cela réduit la quantité de calcul.

Exemple détaillé : calcul d’un déterminant $3 \times 3$

Soit

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$

Développons selon la première ligne. C’est un bon choix ici, car le troisième élément vaut $0$.

$$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Calculons maintenant les déterminants $2 \times 2$ :

$$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (4)(2) = -13$$

et

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (4)(0) = 15.$$

Donc

$$\det(A) = 2(-13) - 1(15) + 0 = -26 - 15 = -41.$$

Ce résultat a deux conséquences immédiates. Comme $\det(A) \ne 0$, la matrice est inversible. Géométriquement, la transformation associée en dimension $3$ multiplie le volume orienté par un facteur de $-41$, donc l’orientation est inversée.

Quand utiliser la règle de Cramer

La règle de Cramer utilise les déterminants pour résoudre un système carré d’équations linéaires. Elle ne s’applique que lorsque la matrice des coefficients est carrée et a un déterminant non nul.

Si

$$Ax=b$$

avec $A$ carrée et $\det(A) \ne 0$, alors

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$

où $A_i$ est obtenue en remplaçant la $i$-ème colonne de $A$ par la colonne des constantes $b$.

C’est une méthode claire pour les petits systèmes, car elle montre exactement pourquoi un déterminant non nul correspond à une solution unique. Si $\det(A)=0$, la règle de Cramer ne donne pas de solution unique.

Erreurs fréquentes avec les déterminants

Utiliser des déterminants sur des matrices non carrées

Une matrice $2 \times 3$ n’a pas de déterminant. La condition « matrice carrée » vient en premier.

Oublier les signes des cofacteurs

Dans un développement, le motif des signes compte autant que les mineurs. Un mineur correct avec un mauvais signe donne quand même un déterminant faux.

Oublier l’effet des opérations sur les lignes

Toutes les opérations sur les lignes ne laissent pas le déterminant inchangé. Échanger des lignes change le signe, multiplier une ligne change l’échelle du déterminant, et seule l’addition à une ligne d’un multiple d’une autre le laisse inchangé.

Utiliser la règle de Cramer quand $\det(A)=0$

La formule divise par $\det(A)$. Si ce déterminant vaut $0$, la méthode ne produit pas de solution unique.

Où les déterminants sont utilisés

Les déterminants apparaissent partout en algèbre linéaire, car ils relient plusieurs questions importantes : une matrice a-t-elle un inverse, un système linéaire a-t-il une solution unique, et comment une transformation modifie-t-elle l’aire ou le volume ?

On les retrouve aussi dans le changement de variables, l’étude des valeurs propres, la géométrie et les équations différentielles. Dans beaucoup de problèmes d’introduction, cependant, l’usage le plus pratique reste le plus simple : vérifier si une matrice carrée est singulière.

Essayez votre propre version

Essayez de développer

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$

selon la première ligne. Une fois le déterminant obtenu, décidez si la matrice est inversible. Ensuite, vérifiez chaque mineur et le motif des signes avant de comparer votre réponse finale.