Wyznaczniki: znaczenie, własności, rozwinięcie i reguła Cramera

Wyznacznik to jedna liczba przypisana do macierzy kwadratowej. W praktyce szybko odpowiada na dwa częste pytania: czy macierz jest odwracalna oraz jak odpowiadające jej przekształcenie liniowe skaluje pole lub objętość.

Od razu ważne są dwa warunki. Wyznaczniki są zdefiniowane tylko dla macierzy kwadratowych. Jeśli $\det(A)=0$, macierz jest osobliwa, więc nie ma macierzy odwrotnej.

Co oznacza wyznacznik

Dla macierzy $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

wyznacznik ma postać

$$\det(A) = ad - bc.$$

Jeśli macierz kwadratowa opisuje przekształcenie liniowe, to $|\det(A)|$ daje współczynnik skali pola w $2$ wymiarach albo współczynnik skali objętości w $3$ wymiarach. Znak mówi, czy orientacja jest zachowana, czy odwrócona. Ta interpretacja geometryczna jest związana ze zwykłą przestrzenią euklidesową.

To jest też szybki test odwracalności: $\det(A) \ne 0$ oznacza, że $A$ jest odwracalna, a $\det(A)=0$ oznacza, że nie jest.

Najważniejsze własności wyznacznika

Nie potrzebujesz długiej listy, żeby dobrze korzystać z wyznaczników. Najczęściej liczą się właśnie te własności:

• Jeśli zamienisz dwa wiersze miejscami, wyznacznik zmienia znak.
• Jeśli jeden wiersz pomnożysz przez stałą $k$, wyznacznik też zostanie pomnożony przez $k$.
• Jeśli do jednego wiersza dodasz wielokrotność innego wiersza, wyznacznik się nie zmienia.
• Jeśli macierz ma dwa jednakowe wiersze albo jeden wiersz jest wielokrotnością innego, jej wyznacznik wynosi $0$.
• Jeśli $\det(A) \ne 0$, to $A$ jest odwracalna. Jeśli $\det(A)=0$, to nie jest.

Fakty dotyczące operacji na wierszach są szczególnie przydatne, bo pozwalają uprościć macierz przed obliczeniem jej wyznacznika.

Jak działa rozwinięcie Laplace’a

Dla macierzy $3 \times 3$ lub większej jedną ze standardowych metod jest rozwinięcie Laplace’a. Pomysł polega na wybraniu wiersza lub kolumny, a następnie połączeniu jej elementów z mniejszymi wyznacznikami.

Dla macierzy $A = (a_{ij})$ dopełnienie algebraiczne na pozycji $(i,j)$ ma postać

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},$$

gdzie $M_{ij}$ jest wyznacznikiem mniejszej macierzy otrzymanej po usunięciu wiersza $i$ i kolumny $j$.

Wtedy rozwinięcie względem wiersza $i$ ma postać

$$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}.$$

Znaki układają się naprzemiennie jak na szachownicy:

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$$

W praktyce warto wybierać wiersz lub kolumnę z zerami, jeśli to możliwe. Dzięki temu obliczeń jest mniej.

Przykład: obliczanie wyznacznika $3 \times 3$

Niech

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$

Rozwińmy wyznacznik względem pierwszego wiersza. To dobry wybór, bo trzeci element jest równy $0$.

$$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Teraz obliczamy wyznaczniki $2 \times 2$:

$$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (4)(2) = -13$$

oraz

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (4)(0) = 15.$$

Zatem

$$\det(A) = 2(-13) - 1(15) + 0 = -26 - 15 = -41.$$

Ten wynik ma dwie natychmiastowe konsekwencje. Ponieważ $\det(A) \ne 0$, macierz jest odwracalna. Geometrycznie odpowiadające jej przekształcenie w przestrzeni $3$D skaluje zorientowaną objętość przez czynnik $-41$, więc orientacja zostaje odwrócona.

Kiedy używać reguły Cramera

Reguła Cramera wykorzystuje wyznaczniki do rozwiązywania kwadratowego układu równań liniowych. Można ją stosować tylko wtedy, gdy macierz współczynników jest kwadratowa i ma niezerowy wyznacznik.

Jeśli

$$Ax=b$$

gdzie $A$ jest kwadratowa i $\det(A) \ne 0$, to

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$

gdzie $A_i$ powstaje przez zastąpienie $i$-tej kolumny macierzy $A$ kolumną wyrazów wolnych $b$.

To przejrzysta metoda dla małych układów, bo dokładnie pokazuje, dlaczego niezerowy wyznacznik odpowiada jedynemu rozwiązaniu. Jeśli $\det(A)=0$, reguła Cramera nie daje jednoznacznego rozwiązania.

Typowe błędy przy wyznacznikach

Używanie wyznaczników dla macierzy niekwadratowych

Macierz $2 \times 3$ nie ma wyznacznika. Warunek kwadratowości macierzy jest zawsze pierwszy.

Gubienie znaków w rozwinięciu

W rozwinięciu układ znaków jest tak samo ważny jak minory. Poprawnie obliczony minor z błędnym znakiem nadal daje zły wyznacznik.

Zapominanie, jak działają operacje na wierszach

Nie każda operacja na wierszach pozostawia wyznacznik bez zmian. Zamiana wierszy zmienia znak, mnożenie wiersza skaluje wyznacznik, a tylko dodanie wielokrotności jednego wiersza do drugiego go nie zmienia.

Używanie reguły Cramera, gdy $\det(A)=0$

We wzorze dzielisz przez $\det(A)$. Jeśli ten wyznacznik wynosi $0$, metoda nie daje jedynego rozwiązania.

Gdzie używa się wyznaczników

Wyznaczniki pojawiają się w całej algebrze liniowej, ponieważ łączą kilka ważnych pytań: czy macierz ma macierz odwrotną, czy układ liniowy ma jedno rozwiązanie oraz jak przekształcenie zmienia pole lub objętość.

Pojawiają się też przy zmianie zmiennych, w zagadnieniach związanych z wartościami własnymi, w geometrii i w równaniach różniczkowych. W wielu zadaniach wprowadzających najbardziej praktyczne zastosowanie nadal pozostaje jednak najprostsze: sprawdzenie, czy macierz kwadratowa jest osobliwa.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj rozwinąć

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$

względem pierwszego wiersza. Gdy obliczysz wyznacznik, zdecyduj, czy macierz jest odwracalna. Następnie sprawdź każdy minor i układ znaków, zanim porównasz swoją końcową odpowiedź.