กฎของเครเมอร์ — แก้ระบบสมการด้วยดีเทอร์มิแนนต์

กฎของเครเมอร์ใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบจัตุรัสโดยอาศัยดีเทอร์มิแนนต์ วิธีทำคือแทนที่คอลัมน์ทีละคอลัมน์ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ แล้วหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์เดิม ใช้ได้เฉพาะเมื่อ $\det(A) \ne 0$ เท่านั้น

ถ้าเขียนระบบในรูป

$$Ax = b$$

และ $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มี $\det(A) \ne 0$ ระบบจะมีคำตอบเดียว และกฎของเครเมอร์สามารถหาค่าของตัวแปรแต่ละตัวได้โดยตรง

สูตรกฎของเครเมอร์

สำหรับตัวแปร $x_i$ กฎคือ

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

โดยที่ $A_i$ คือเมทริกซ์ที่ได้จากการแทนคอลัมน์ที่ $i$ ของ $A$ ด้วยค่าคงที่จาก $b$

เงื่อนไขนี้สำคัญมาก ถ้า $\det(A) = 0$ ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ ดังนั้นกฎของเครเมอร์จะไม่ให้คำตอบเอกฐาน

เมื่อไรจึงใช้กฎของเครเมอร์ได้

ใช้ได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขทั้งหมดต่อไปนี้เป็นจริง:

1. ระบบมีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวไม่ทราบค่า
2. เมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์จัตุรัส
3. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์

ถ้าเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งไม่ผ่าน ให้หยุดตรงนั้นได้เลย ตัวอย่างเช่น ถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบได้ไม่สิ้นสุด ดังนั้นกฎของเครเมอร์จึงไม่ใช่เครื่องมือที่เหมาะสำหรับหาคำตอบเอกฐาน

แก้ระบบ $2 \times 2$ ทีละขั้นตอน

จงแก้

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

เริ่มจากระบุเมทริกซ์สัมประสิทธิ์และคอลัมน์ค่าคงที่:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$

คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของ $A$:

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 1(1) = -3$$

เนื่องจาก $\det(A) = -3 \ne 0$ ระบบจึงมีคำตอบเดียว ดังนั้นสามารถใช้กฎของเครเมอร์ได้

หา $x$

แทนคอลัมน์แรกของ $A$ ด้วย $b$:

$$A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

จากนั้น

$$\det(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 5(-1) - 1(1) = -6$$

ตอนนี้หารด้วยดีเทอร์มิแนนต์เดิม:

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-6}{-3} = 2$$

หา $y$

แทนคอลัมน์ที่สองของ $A$ ด้วย $b$:

$$A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

จากนั้น

$$\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - 5(1) = -3$$

หารด้วย $\det(A)$ อีกครั้ง:

$$y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-3}{-3} = 1$$

ดังนั้นคำตอบคือ

$$(x,y) = (2,1)$$

นี่คือรูปแบบทั้งหมดของวิธีนี้: หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เดิมหนึ่งครั้ง แล้วหาดีเทอร์มิแนนต์เพิ่มอีกหนึ่งครั้งสำหรับแต่ละตัวแปร

ทำไมกฎของเครเมอร์จึงสำคัญ

โดยทั่วไปแล้ว กฎของเครเมอร์ไม่ใช่วิธีที่เร็วที่สุดสำหรับระบบขนาดใหญ่ นักเรียนเรียนวิธีนี้เพราะมันเชื่อมโยง 3 แนวคิดเข้าด้วยกันอย่างชัดเจน:

• การแก้ระบบสมการเชิงเส้น
• ดีเทอร์มิแนนต์
• เงื่อนไขของการมีคำตอบเอกฐาน

ถ้า $\det(A) \ne 0$ ระบบจะมีคำตอบเดียว ถ้า $\det(A) = 0$ จะมีบางอย่างใช้ไม่ได้: ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบได้ไม่สิ้นสุด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในกฎของเครเมอร์

ใช้ทั้งที่ $\det(A) = 0$

นี่คือจุดตรวจสอบหลัก กฎของเครเมอร์อาศัยการหารด้วย $\det(A)$ ดังนั้นถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ วิธีนี้จะใช้ไม่ได้สำหรับการหาคำตอบเอกฐาน

แทนผิดคอลัมน์

ถ้าจะหา $x$ ให้แทนคอลัมน์ของ $x$ ถ้าจะหา $y$ ให้แทนคอลัมน์ของ $y$ คอลัมน์ค่าคงที่ไม่ได้ถูกนำไปต่อท้าย แต่ใช้แทนทีละหนึ่งคอลัมน์

คิดว่าเป็นวิธีที่ดีที่สุดสำหรับทุกระบบ

สำหรับระบบที่ใหญ่ขึ้น การลดรูปแถวหรือวิธีเชิงตัวเลขมักใช้งานได้จริงมากกว่า กฎของเครเมอร์มีประโยชน์ที่สุดกับระบบขนาดเล็ก และช่วยให้เข้าใจบทบาทของดีเทอร์มิแนนต์ได้ดี

กฎของเครเมอร์ถูกใช้เมื่อไร

โดยปกติคุณจะพบกฎของเครเมอร์ในวิชาพีชคณิตและพีชคณิตเชิงเส้น เมื่อเป้าหมายคือความเข้าใจมากกว่าความเร็ว วิธีนี้มีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อคุณต้องการแสดงให้เห็นว่าตัวแปรแต่ละตัวขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์และค่าคงที่อย่างไร

ในทางปฏิบัติ วิธีนี้เหมาะที่สุดกับระบบ $2 \times 2$ และบางครั้งก็ใช้กับระบบ $3 \times 3$ หลังจากนั้นงานคำนวณดีเทอร์มิแนนต์จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว จึงไม่ใช่วิธีมาตรฐานโดยปริยายอีกต่อไป

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองแก้

$$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 0 \end{cases}$$

เริ่มจากคำนวณ $\det(A)$ ก่อน ถ้าไม่เป็นศูนย์ ให้แทนทีละหนึ่งคอลัมน์แล้วหาค่า $x$ และ $y$ เมื่อทำด้วยมือตามขั้นตอนเสร็จแล้ว ลองเปรียบเทียบการตั้งโจทย์ของคุณกับตัวแก้สมการเมทริกซ์ เพื่อตรวจสอบทั้งค่าดีเทอร์มิแนนต์และคำตอบสุดท้าย