행렬식: 뜻, 성질, 전개, 그리고 크래머 공식

행렬식은 정사각행렬에 대응되는 하나의 수입니다. 실제로는 두 가지 질문에 빠르게 답해 줍니다. 그 행렬이 가역인지, 그리고 대응되는 선형변환이 넓이나 부피를 얼마나 스케일하는지입니다.

처음부터 중요한 조건이 두 가지 있습니다. 행렬식은 정사각행렬에만 정의됩니다. $\det(A)=0$이면 그 행렬은 특이행렬이므로 역행렬이 없습니다.

행렬식의 의미

$2 \times 2$ 행렬

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

의 행렬식은

$$\det(A) = ad - bc.$$

입니다.

정사각행렬이 하나의 선형변환을 나타낸다면, $|\det(A)|$는 2차원에서는 넓이의 스케일 배수, 3차원에서는 부피의 스케일 배수를 뜻합니다. 부호는 방향이 보존되는지 뒤집히는지를 알려 줍니다. 이 기하학적 해석은 보통의 유클리드 공간을 기준으로 합니다.

이것은 가역성을 빠르게 판별하는 방법이기도 합니다. $\det(A) \ne 0$이면 $A$는 가역이고, $\det(A)=0$이면 가역이 아닙니다.

꼭 알아야 할 행렬식의 성질

행렬식을 잘 활용하기 위해 긴 성질 목록이 필요한 것은 아닙니다. 보통 가장 중요한 성질은 다음과 같습니다.

• 두 행을 서로 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀝니다.
• 한 행에 상수 $k$를 곱하면 행렬식도 $k$배 됩니다.
• 한 행의 배수를 다른 행에 더해도 행렬식은 변하지 않습니다.
• 같은 두 행이 있거나, 한 행이 다른 행의 배수이면 행렬식은 $0$입니다.
• $\det(A) \ne 0$이면 $A$는 가역입니다. $\det(A)=0$이면 가역이 아닙니다.

이런 행 연산 관련 성질은 특히 유용합니다. 행렬식을 계산하기 전에 행렬을 더 단순하게 만들 수 있기 때문입니다.

여인수 전개는 어떻게 작동할까

$3 \times 3$ 이상 행렬의 경우, 대표적인 방법 중 하나가 여인수 전개입니다. 아이디어는 한 행이나 한 열을 선택한 뒤, 그 원소들을 더 작은 행렬식들과 결합하는 것입니다.

행렬 $A = (a_{ij})$에서 $(i,j)$ 위치의 여인수는

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},$$

입니다. 여기서 $M_{ij}$는 $i$행과 $j$열을 지운 뒤 남는 더 작은 행렬의 행렬식입니다.

그러면 $i$번째 행에 대한 전개는

$$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}.$$

가 됩니다.

부호는 체커보드처럼 번갈아 나타납니다.

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$$

실제로는 가능하면 0이 있는 행이나 열을 고르세요. 그러면 계산량이 줄어듭니다.

예제로 보기: $3 \times 3$ 행렬식 구하기

다음을 보겠습니다.

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$

첫째 행을 따라 전개합니다. 여기서는 세 번째 원소가 $0$이므로 좋은 선택입니다.

$$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$

이제 $2 \times 2$ 행렬식들을 계산합니다.

$$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (4)(2) = -13$$

그리고

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (4)(0) = 15.$$

따라서

$$\det(A) = 2(-13) - 1(15) + 0 = -26 - 15 = -41.$$

입니다.

이 결과에서 바로 두 가지를 알 수 있습니다. $\det(A) \ne 0$이므로 이 행렬은 가역입니다. 기하학적으로는 대응되는 3차원 변환이 부호 있는 부피를 $-41$배 하므로 방향이 뒤집힙니다.

크래머 공식을 언제 사용할까

크래머 공식은 행렬식을 이용해 정사각형 연립일차방정식을 푸는 방법입니다. 계수행렬이 정사각행렬이고 행렬식이 0이 아닐 때만 적용할 수 있습니다.

만약

$$Ax=b$$

이고 $A$가 정사각행렬이며 $\det(A) \ne 0$이면,

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$

입니다. 여기서 $A_i$는 $A$의 $i$번째 열을 상수열 $b$로 바꿔 만든 행렬입니다.

이 방법은 작은 연립방정식에서 특히 깔끔합니다. 행렬식이 0이 아니면 왜 해가 하나로 정해지는지 정확히 보여 주기 때문입니다. $\det(A)=0$이면 크래머 공식으로는 유일한 해를 구할 수 없습니다.

행렬식에서 자주 하는 실수

정사각행렬이 아닌 경우에 행렬식을 쓰는 실수

$2 \times 3$ 행렬에는 행렬식이 없습니다. 먼저 정사각행렬인지 확인해야 합니다.

여인수의 부호를 놓치는 실수

전개에서는 부호 패턴이 소행렬식만큼 중요합니다. 소행렬식을 맞게 구해도 부호가 틀리면 전체 행렬식은 틀립니다.

행 연산의 효과를 잊는 실수

모든 행 연산이 행렬식을 그대로 두는 것은 아닙니다. 행을 바꾸면 부호가 바뀌고, 한 행을 배하면 행렬식도 배가 되며, 한 행의 배수를 다른 행에 더할 때만 그대로 유지됩니다.

$\det(A)=0$일 때 크래머 공식을 사용하는 실수

공식은 $\det(A)$로 나눕니다. 그 값이 $0$이면 이 방법으로는 유일한 해를 만들 수 없습니다.

행렬식은 어디에 쓰일까

행렬식은 선형대수 전반에 걸쳐 등장합니다. 행렬에 역행렬이 있는지, 선형시스템이 유일해를 가지는지, 그리고 변환이 넓이나 부피를 어떻게 바꾸는지를 연결해 주기 때문입니다.

또한 변수변환, 고유값 문제, 기하학, 미분방정식에도 나타납니다. 하지만 입문 단계의 많은 문제에서는 여전히 가장 실용적인 용도가 가장 단순합니다. 정사각행렬이 특이한지 확인하는 것입니다.

직접 해보기

다음 행렬을

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$

첫째 행을 따라 전개해 보세요. 행렬식을 구한 뒤, 그 행렬이 가역인지 판단해 보세요. 마지막 답과 비교하기 전에 각 소행렬식과 부호 패턴도 하나씩 확인해 보세요.