ทฤษฎีบททวินาม — สูตร การกระจายพจน์ และตัวอย่าง

ทฤษฎีบททวินามเป็นวิธีลัดในการกระจายนิพจน์อย่าง $(a+b)^n$ ในรูปแบบมาตรฐานที่ใช้ในวิชาพีชคณิต จะใช้ได้เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มไม่ลบ

แทนที่จะคูณ $(a+b)(a+b)(a+b)$ ทีละวงเล็บด้วยมือ คุณสามารถใช้รูปแบบเดียวสำหรับการกระจายทั้งหมดได้:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

สูตรนี้บอกทั้งสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ และบอกว่ากำลังของ $a$ กับ $b$ เปลี่ยนไปอย่างไรตลอดการกระจาย

สูตรและรูปแบบของทฤษฎีบททวินาม

แต่ละพจน์ในการกระจายมีรูปเป็น

$$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

โดยที่ $k$ มีค่าตั้งแต่ $0$ ถึง $n$

นั่นหมายความว่าสัมประสิทธิ์คือ $\binom{n}{k}$ กำลังของ $a$ ลดจาก $n$ ลงไปถึง $0$ และกำลังของ $b$ เพิ่มจาก $0$ ไปถึง $n$ ในทุกพจน์ ผลบวกของเลขชี้กำลังยังคงเท่ากับ $n$

ตัวอย่างเช่น เมื่อ $n=4$ สัมประสิทธิ์คือ

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

ซึ่งเป็นตัวเลขชุดเดียวกับแถวที่ $4$ ของสามเหลี่ยมปาสกาล

ทำไมสัมประสิทธิ์จึงเป็นแบบนั้น

ถ้าคุณกระจาย $(a+b)^n$ จริง ๆ แล้วคุณกำลังเลือกหนึ่งพจน์จากวงเล็บที่เหมือนกันจำนวน $n$ วงเล็บ:

$$(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$$

ถ้าต้องการพจน์ที่มี $b^k$ คุณต้องเลือก $b$ จากวงเล็บให้ได้พอดี $k$ วงเล็บ และเลือก $a$ จากวงเล็บที่เหลือ จำนวนวิธีที่ทำได้คือ $\binom{n}{k}$ ดังนั้นค่านี้จึงกลายเป็นสัมประสิทธิ์

นี่จึงเป็นเหตุผลด้วยว่าทำไมสัมประสิทธิ์ตรงกลางมักมีค่ามากที่สุด เพราะมีจำนวนวิธีในการแบ่งการเลือกใกล้ตรงกลางมากกว่าที่ปลายทั้งสองด้าน

ตัวอย่างการกระจายทวินาม: $(2x-3)^4$

เพราะเลขชี้กำลังเป็น $4$ จึงใช้ทฤษฎีบทนี้ได้โดยตรง สัมประสิทธิ์คือ

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

ใช้รูปแบบทั่วไปได้เป็น

$$(2x-3)^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4$$

จากนั้นจัดรูปทีละพจน์:

$$(2x)^4 = 16x^4$$ $$4(2x)^3(-3) = 4(8x^3)(-3) = -96x^3$$ $$6(2x)^2(-3)^2 = 6(4x^2)(9) = 216x^2$$ $$4(2x)(-3)^3 = 4(2x)(-27) = -216x$$ $$(-3)^4 = 81$$

ดังนั้นผลการกระจายคือ

$$(2x-3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$$

สังเกตการตรวจสอบเร็ว 2 อย่างที่ช่วยจับข้อผิดพลาดได้ไว: เลขชี้กำลังในแต่ละพจน์รวมกันได้ $4$ และเครื่องหมายสลับถูกต้องเพราะพจน์ที่สองคือ $-3$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในทฤษฎีบททวินาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือคิดว่า $(a+b)^n$ เท่ากับ $a^n + b^n$ ซึ่งโดยทั่วไปไม่จริง เพราะพจน์ตรงกลางมีความสำคัญ

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือใช้สัมประสิทธิ์ถูก แต่ใช้กำลังผิด ในทุกพจน์ เลขชี้กำลังของทั้งสองส่วนควรรวมกันได้เท่ากับเลขชี้กำลังเดิม $n$

เครื่องหมายลบก็ทำให้ผิดพลาดได้ง่ายเช่นกัน ใน $(2x-3)^4$ พจน์ที่สองคือ $-3$ ไม่ใช่แค่ $3$ ดังนั้นกำลังคี่ของพจน์นี้ยังคงเป็นลบ และกำลังคู่จะกลายเป็นบวก

ควรใช้ทฤษฎีบททวินามเมื่อไร

ใช้ทฤษฎีบททวินามเมื่อคุณต้องการการกระจายเป็นพหุนามทั้งหมด ต้องการหาพจน์ใดพจน์หนึ่งในการกระจาย หรืออยากอ่านค่าสัมประสิทธิ์ได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องคูณซ้ำหลายครั้ง

แนวคิดนี้เริ่มพบในพีชคณิต แล้วต่อมาจะไปปรากฏในความน่าจะเป็น อนุกรม และการประมาณค่าในแคลคูลัสบางแบบ ถ้าเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนเต็มไม่ลบ สูตรแบบจำกัดจำนวนพจน์นี้จะไม่ให้พหุนามอีกต่อไป จึงต้องใช้แนวคิดอีกรูปแบบหนึ่งแทน

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

จงกระจาย $(x+2)^5$ และตรวจ 2 อย่างก่อนจัดรูป: สัมประสิทธิ์ควรเป็น $1, 5, 10, 10, 5, 1$ และเลขชี้กำลังของทั้งสองส่วนควรรวมกันได้ $5$ ในทุกพจน์

ถ้าอยากลองต่ออีกขั้น ให้ใส่โจทย์ในแบบของคุณเองลงในตัวแก้โจทย์ แล้วเปรียบเทียบพจน์ตรงกลางก่อน เพราะจุดนั้นมักเป็นตำแหน่งที่ความผิดพลาดเรื่องสัมประสิทธิ์และเครื่องหมายปรากฏชัดที่สุด