Twierdzenie dwumianowe — wzór, rozwinięcie i przykłady

Twierdzenie dwumianowe daje szybki sposób na rozwijanie wyrażeń takich jak $(a+b)^n$. W standardowej wersji używanej na lekcjach algebry stosuje się je wtedy, gdy $n$ jest nieujemną liczbą całkowitą.

Zamiast mnożyć $(a+b)(a+b)(a+b)$ ręcznie, możesz użyć jednego schematu dla całego rozwinięcia:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Ten wzór mówi, jaki jest współczynnik przy każdym wyrazie i jak zmieniają się potęgi $a$ oraz $b$ w całym rozwinięciu.

Wzór i schemat twierdzenia dwumianowego

Każdy wyraz w rozwinięciu ma postać

$$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

gdzie $k$ przyjmuje wartości od $0$ do $n$.

To oznacza, że współczynnikiem jest $\binom{n}{k}$, potęga $a$ maleje od $n$ do $0$, a potęga $b$ rośnie od $0$ do $n$. W każdym wyrazie wykładniki nadal sumują się do $n$.

Na przykład, gdy $n=4$, współczynniki to

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Są to te same liczby co w $4$-tym wierszu trójkąta Pascala.

Dlaczego te współczynniki działają

Jeśli rozwiniesz $(a+b)^n$, to w rzeczywistości wybierasz jeden składnik z każdego z $n$ identycznych nawiasów:

$$(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$$

Aby otrzymać wyraz z $b^k$, musisz wybrać $b$ dokładnie z $k$ nawiasów, a z pozostałych wybrać $a$. Liczba takich możliwości wynosi $\binom{n}{k}$, więc ta liczba staje się współczynnikiem.

To także wyjaśnia, dlaczego środkowe współczynniki są zwykle największe: w środku jest więcej sposobów podziału wyborów niż na końcach.

Przykład rozwinięcia dwumianowego: $(2x-3)^4$

Ponieważ wykładnik wynosi $4$, twierdzenie można zastosować bezpośrednio. Współczynniki to

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Korzystając z ogólnego schematu, otrzymujemy

$$(2x-3)^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4$$

Teraz uprośćmy wyraz po wyrazie:

$$(2x)^4 = 16x^4$$ $$4(2x)^3(-3) = 4(8x^3)(-3) = -96x^3$$ $$6(2x)^2(-3)^2 = 6(4x^2)(9) = 216x^2$$ $$4(2x)(-3)^3 = 4(2x)(-27) = -216x$$ $$(-3)^4 = 81$$

Zatem rozwinięcie ma postać

$$(2x-3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$$

Zwróć uwagę na dwa szybkie sprawdzenia, które pomagają od razu wychwycić błędy: wykładniki w każdym wyrazie sumują się do $4$, a znaki zmieniają się poprawnie, ponieważ drugi składnik to $-3$.

Typowe błędy przy twierdzeniu dwumianowym

Najczęstszy błąd polega na traktowaniu $(a+b)^n$ jak $a^n + b^n$. Ogólnie jest to fałsz, ponieważ wyrazy środkowe mają znaczenie.

Innym błędem jest użycie poprawnych współczynników przy niewłaściwych potęgach. W każdym wyrazie wykładniki obu części powinny sumować się do pierwotnego wykładnika $n$.

Problemy sprawiają też znaki minus. W $(2x-3)^4$ drugi składnik to $-3$, a nie samo $3$, więc nieparzyste potęgi tego czynnika pozostają ujemne, a parzyste stają się dodatnie.

Kiedy używać twierdzenia dwumianowego

Użyj twierdzenia dwumianowego, gdy potrzebujesz pełnego rozwinięcia do postaci wielomianu, jednego konkretnego wyrazu rozwinięcia albo szybkiego sposobu odczytania współczynników bez wielokrotnego mnożenia.

Pojawia się ono najpierw w algebrze, a później także w rachunku prawdopodobieństwa, szeregach i niektórych przybliżeniach w analizie. Jeśli wykładnik nie jest nieujemną liczbą całkowitą, ten skończony wzór nie daje już wielomianu, więc potrzebna jest inna wersja tej idei.

Spróbuj podobnego rozwinięcia

Rozwiń $(x+2)^5$ i sprawdź dwie rzeczy, zanim zaczniesz upraszczać: współczynniki powinny wynosić $1, 5, 10, 10, 5, 1$, a wykładniki obu części powinny sumować się do $5$ w każdym wyrazie.

Jeśli chcesz pójść o krok dalej, wypróbuj własną wersję w solverze i najpierw porównaj wyrazy środkowe. To właśnie tam błędy we współczynnikach i znakach zwykle pojawiają się najszybciej.